Prove que o diâmetro é a maior corda de uma circunferência.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num círculo de centro O e raio r, nenhuma outra corda pode ser maior que o diâmetro. O conteúdo principal é geometria básica de círculos e a desigualdade triangular em triângulos. Vamos usar o fato de que, se A e B são pontos quaisquer na circunferência, então OA=OB=r, e em seguida aplicar a desigualdade triangular no triângulo OAB.

Passo 2

Considere um círculo de centro O e raio r. Seja AB uma corda qualquer desse círculo, com A e B sobre a circunferência. Traçando os segmentos OA e OB, formamos o triângulo OAB cujos lados satisfazem
OA = r, OB = r

Passo 3

No triângulo OAB, a desigualdade triangular diz que a soma de dois lados é maior do que o terceiro. Aplicando-a a OA e OB, obtemos
AB < OA + OB = r + r = 2r
Logo, qualquer corda AB é estritamente menor que 2r.

Passo 4

Observe que a única forma de ter igualdade na desigualdade triangular é quando os pontos A, O e B são colineares e O está entre A e B. Nesse caso especial,
AB = OA + OB = 2r,
e a corda AB passa por O, isto é, é um diâmetro.

Passo 5

Concluímos que toda corda que não passe pelo centro tem comprimento menor que 2r, enquanto as que passam pelo centro (os diâmetros) têm exatamente comprimento 2r. Portanto, o diâmetro é a maior corda de uma circunferência.

Resposta

O diâmetro é a maior corda de uma circunferência porque, em qualquer triângulo formado pelo centro e pelos extremos de uma corda, a desigualdade triangular mostra que essa corda vale menos que 2r, com igualdade apenas quando ela é justamente um diâmetro.

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