Prove que o diâmetro é a maior corda de uma circunferência.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num círculo de centro
e raio
, nenhuma outra corda pode ser maior que o diâmetro. O conteúdo principal é geometria básica de círculos e a desigualdade triangular em triângulos. Vamos usar o fato de que, se
e
são pontos quaisquer na circunferência, então
, e em seguida aplicar a desigualdade triangular no triângulo
.
Passo 2
Considere um círculo de centro
e raio
. Seja
uma corda qualquer desse círculo, com
e
sobre a circunferência. Traçando os segmentos
e
, formamos o triângulo
cujos lados satisfazem
Passo 3
No triângulo
, a desigualdade triangular diz que a soma de dois lados é maior do que o terceiro. Aplicando-a a
e
, obtemos
Logo, qualquer corda
é estritamente menor que
.
Passo 4
Observe que a única forma de ter igualdade na desigualdade triangular é quando os pontos
,
e
são colineares e
está entre
e
. Nesse caso especial,
e a corda
passa por
, isto é, é um diâmetro.
Passo 5
Concluímos que toda corda que não passe pelo centro tem comprimento menor que
, enquanto as que passam pelo centro (os diâmetros) têm exatamente comprimento
. Portanto, o diâmetro é a maior corda de uma circunferência.
Resposta
O diâmetro é a maior corda de uma circunferência porque, em qualquer triângulo formado pelo centro e pelos extremos de uma corda, a desigualdade triangular mostra que essa corda vale menos que
, com igualdade apenas quando ela é justamente um diâmetro.