Duas estradas de iguais dimensões começam simultaneamente a serem construídas por 15 operários cada uma. Entretanto, devido à dificuldade do terreno, percebe-se que, enquanto uma turma avança 23 na sua obra, a outra avançou 45. Quantos operários devem ser deslocados de uma turma para outra, afim de que as duas obras fiquem prontas ao mesmo tempo?

Passo 1

O enunciado diz que há duas obras idênticas começadas ao mesmo tempo por duas turmas de 15 operários cada. Após um certo tempo T, a primeira obra avançou tfrac23 e a segunda tfrac45. Queremos realocar x operários de uma turma para a outra de modo que, a partir desse momento, o tempo para concluir os trabalhos restantes seja o mesmo em ambas. Usaremos o modelo
trabalho = taxa times tempo,
onde a taxa de cada turma é o número de operários vezes a produtividade individual.

Passo 2

Seja r1 a produtividade de cada operário na primeira obra e r2 na segunda. Em tempo T temos:
15,r1,T = tfrac23, 15,r2,T = tfrac45
Dividindo a segunda pela primeira:
15,r2,T15,r1,T = tfrac45tfrac23 ;Longrightarrow; r2r1 = 4/52/3 = 4cdot35cdot2 = 65
Logo ,r2 = tfrac65,r1.

Passo 3

O trabalho restante em cada obra é:
obra 1: 1 - tfrac23 = tfrac13, obra 2: 1 - tfrac45 = tfrac15

Passo 4

Se deslocarmos x operários da primeira para a segunda, as turmas ficarão com 15 - x e 15 + x operários, respectivamente. Os tempos para concluir serão
T1 = tfrac13(15 - x),r1, T2 = tfrac15(15 + x),r2
Igualando T1 = T2 e substituindo r2 = tfrac65r1, obtemos
1/3(15 - x),r1 = 1/5(15 + x),l(tfrac65r1r) ;Longrightarrow; 5,(15 + x),tfrac65,r1 = 3,(15 - x),r1

Passo 5

Cancelando r1 e simplificando:
6,(15 + x) = 3,(15 - x) ;Longrightarrow; 90 + 6x = 45 - 3x ;Longrightarrow; 9x = -45 ;Longrightarrow; x = -5
O sinal negativo indica que, na verdade, devemos mover 5 operários da segunda turma para a primeira.

Resposta

Devem ser deslocados 5 operários da segunda turma para a primeira.

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