3.2.30 (a) Se duas matrizes não-singulares anticomutarem, mostre que o traço de cada uma é zero. Nãosingular significa que o determinante da matriz é não-zero.
(b) Para que as condições da parte (a) sejam válidas, A e B devem ser matrizes n \times n com n par. Mostre que, se n for ímpar, resulta uma contradição.

3.2.31 Se uma matriz tiver uma inversa, mostre que a inversa é única.

Passo 1

O enunciado 3.2.30 trata de matrizes quadradas A,B invertíveis (não-singulares) que satisfazem
AB = -BA
e pede em (a) mostrar que \text{tr}(A)=0 e \text{tr}(B)=0, e em (b) provar que isso só é possível se a ordem n das matrizes for par. Já o enunciado 3.2.31 pede que mostremos que, se uma matriz A tiver inversa, essa inversa é única. Para resolver vamos usar propriedades de traço (invariância cíclica), determinante (multiplicativo e \det(-I)=(-1)^n) e associatividade em matrizes.

Passo 2

Para 3.2.30(a), começamos mostrando \text{tr}(B)=0. Da hipótese
AB = -BA,
multiplicamos à direita por A^{-1}, que existe pois A é não-singular, obtendo
AB\,A^{-1} = -BA\,A^{-1} \quad\Longrightarrow\quad AB\,A^{-1} = -B.
Aplicando traço em ambos lados e usando que \text{tr}(XYZ)=\text{tr}(ZXY) (invariância cíclica), temos
\text{tr}(B) =\text{tr}(-\,AB\,A^{-1}) =-\,\text{tr}(AB\,A^{-1}) =-\,\text{tr}(A^{-1}AB) =-\,\text{tr}(B),
logo
\text{tr}(B)=0.

Passo 3

De modo análogo, para mostrar \text{tr}(A)=0, partimos de AB=-BA e multiplicamos à esquerda por B^{-1}:
B^{-1}AB = -B^{-1}BA \quad\Longrightarrow\quad B^{-1}AB = -A.
Aplicando traço e usando invariância cíclica,
\text{tr}(A) =\text{tr}\bigl(-\,B^{-1}AB\bigr) =-\,\text{tr}(B^{-1}AB) =-\,\text{tr}(ABB^{-1}) =-\,\text{tr}(A),
logo
\text{tr}(A)=0.

Passo 4

Para 3.2.30(b), usamos determinantes. Da relação AB=-BA tiramos
\det(AB)=\det(-BA).
Pela multiplicatividade do determinante e \det(-I_n)=(-1)^n,
\det(A)\det(B) =(-1)^n\det(B)\det(A).
Como \det(A)\det(B)\neq0, podemos cancelar e obtemos
1=(-1)^n,
o que exige n par. Se n fosse ímpar, teríamos (-1)^n=-1\neq1, contradição.

Passo 5

Em 3.2.31, seja A uma matriz e suponha que existam duas inversas X e Y tais que
AX = I \quad\text{e}\quad YA = I.
Então
X = X(AY) = (XA)Y = I\cdot Y = Y.
Aqui usamos associatividade de matrizes e o fato de XA=I. Conclui-se X=Y, ou seja, a inversa de A é única.

Resposta

3.2.30(a) \text{tr}(A)=0 e \text{tr}(B)=0.
3.2.30(b) a ordem n deve ser par.
3.2.31 A inversa de uma matriz, se existir, é única.

Exercícios de Livros Relacionados