3.2.30 (a) Se duas matrizes não-singulares anticomutarem, mostre que o traço de cada uma é zero. Nãosingular significa que o determinante da matriz é não-zero.
(b) Para que as condições da parte (a) sejam válidas, A e B devem ser matrizes
com
par. Mostre que, se n for ímpar, resulta uma contradição.
3.2.31 Se uma matriz tiver uma inversa, mostre que a inversa é única.
(b) Para que as condições da parte (a) sejam válidas, A e B devem ser matrizes
Passo 1
O enunciado 3.2.30 trata de matrizes quadradas
invertíveis (não-singulares) que satisfazem
e pede em (a) mostrar que
e
, e em (b) provar que isso só é possível se a ordem
das matrizes for par. Já o enunciado 3.2.31 pede que mostremos que, se uma matriz
tiver inversa, essa inversa é única. Para resolver vamos usar propriedades de traço (invariância cíclica), determinante (multiplicativo e
) e associatividade em matrizes.
Passo 2
Para 3.2.30(a), começamos mostrando
. Da hipótese
multiplicamos à direita por
, que existe pois
é não-singular, obtendo
Aplicando traço em ambos lados e usando que
(invariância cíclica), temos
logo
Passo 3
De modo análogo, para mostrar
, partimos de
e multiplicamos à esquerda por
:
Aplicando traço e usando invariância cíclica,
logo
Passo 4
Para 3.2.30(b), usamos determinantes. Da relação
tiramos
Pela multiplicatividade do determinante e
,
Como
, podemos cancelar e obtemos
o que exige
par. Se
fosse ímpar, teríamos
, contradição.
Passo 5
Em 3.2.31, seja
uma matriz e suponha que existam duas inversas
e
tais que
Então
Aqui usamos associatividade de matrizes e o fato de
. Conclui-se
, ou seja, a inversa de
é única.
Resposta
3.2.30(a)
e
.
3.2.30(b) a ordem deve ser par.
3.2.31 A inversa de uma matriz, se existir, é única.
3.2.30(b) a ordem
3.2.31 A inversa de uma matriz, se existir, é única.