3.2.5 Se A é uma matriz , mostre que

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se A é uma matriz ntimes n, então
det(-A)=(-1)^ndet A
Vamos usar a definição de determinante via permutações e a propriedade de fatoração de escalares em produtos.

Passo 2

Pela definição de determinante em termos de permutações, temos
onde é o grupo de todas as permutações de e é o sinal de .

Passo 3

Em cada entrada é . Substituindo na expansão:
Como independe de , podemos fatorá-lo para fora da soma, obtendo

Resposta

det(-A)=(-1)^ndet A

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