3.2.5 Se A é uma matriz n \times n, mostre que
\operatorname{det}(-\mathrm{A})=(-1)^{n} \operatorname{det} \mathrm{~A} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se A é uma matriz n\times n, então
\det(-A)=(-1)^{n}\det A.
Vamos usar a definição de determinante via permutações e a propriedade de fatoração de escalares em produtos.

Passo 2

Pela definição de determinante em termos de permutações, temos
\det A \;=\;\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn(\sigma)\,\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)},
onde S_{n} é o grupo de todas as permutações de \{1,2,\dots,n\} e \sgn(\sigma) é o sinal de \sigma.

Passo 3

Em -A cada entrada é (-A)_{i,j}=-a_{i,j}. Substituindo na expansão:
\det(-A) =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn(\sigma)\,\prod_{i=1}^{n}(-a_{i,\sigma(i)}) =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn(\sigma)\,(-1)^{n}\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}.
Como (-1)^{n} independe de \sigma, podemos fatorá-lo para fora da soma, obtendo
\det(-A)=(-1)^{n}\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)} =(-1)^{n}\det A.

Resposta

\det(-A)=(-1)^{n}\det A.

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