3.2.44 Um cálculo dos valores de potencial eletrostático dentro de um cilindro leva a

\begin{array}{lll} V(0,0) & =52,640 & V(0,6) \\\ V(0,2) & =48,292 & V(0,8) \\\ V(0,4) & =38,270 & V(1,0) \\\ V & =0.0 \end{array}
O problema é determinar os valores do argumento para o qual V=10,20,30,40 e 50 . Expresse V(x) como uma série \sum_{n=0}^{5} a_{2 n} x^{2 n}. (Requisitos de simetria do problema original exigem que V(x) seja uma função par de x.) Determine os coeficientes a_{2 n}. Agora que V(x) é uma função conhecida de x, ache a raiz de V(x)-10=0,0 \leq x \leq 1. Repita para V(x)-20, e assim por diante.
\text { Resposta: } \begin{aligned} & a_{0}=52,640, \\ & a_{2}=-117,676, \\ & V(0,6851)=20 . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que a gente ajuste uma série em potências pares de x até grau 10, isto é,
V(x)=\sum_{n=0}^{5}a_{2n}\,x^{2n},
usando os valores de V em seis pontos em [0,1]. Com isso obtém-se um sistema de seis equações lineares para determinar os seis coeficientes a_{0},a_{2},\dots,a_{10}. Em seguida, com essa V(x) polinomial, resolve-se numericamente V(x)-C=0 para C=10,20,30,40,50.

Passo 2

Para montar o sistema, precisamos dos valores de V em:
x=0{,}0,\;0{,}2,\;0{,}4,\;0{,}6,\;0{,}8,\;1{,}0.
O enunciado fornece
V(0{,}0)=52{,}640,\quad V(0{,}2)=48{,}292,\quad V(0{,}4)=38{,}270,\quad V(1{,}0)=0{,}0,
mas não informa V(0{,}6) nem V(0{,}8).

Passo 3

Sem os valores de V em x=0{,}6 e em x=0{,}8 faltam duas equações do sistema para determinar os seis coeficientes a_{2n}. Logo não é possível concluir o ajuste polinomial nem encontrar as raízes de V(x)-C=0.

Resposta

Não é possível resolver pois faltam os valores de V em x=0{,}6 e em x=0{,}8, necessários para determinar todos os coeficientes da série.

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