3.2.7 Dadas as três matrizes
A=(cc -1 & 0 0 & -1 ), B=(cc 0 & 1 1 & 0 ), C=(cc 0 & -1 -1 & 0 ),
ache todos os produtos possíveis de A, B e C , dois por vez, incluindo quadrados. Expresse suas respostas em termos de A, B e C, e 1, a matriz unitária. Essas três matrizes, juntamente com a matriz unitária, formam uma representação de um grupo matemático, o Vierergruppe (veja a Capítulo 4).

Passo 1

O enunciado pede todos os produtos possíveis de A, B e C, dois a dois, incluindo cada quadrado, e que expressemos os resultados em termos de A, B, C e 1 (a matriz identidade).

Passo 2

Calcular os quadrados:
  • Como A=-1cdot I, temos
A^2 = (-1cdot I)^2 = I = 1
  • A matriz B troca as coordenadas, logo ao aplicá-la duas vezes retorna ao vetor inicial:
B^2 = 1
  • Como C = -,B, segue
C^2 = (-B)^2 = B^2 = 1

Passo 3

Calcular AB e BA:
AB = (-1),B = -B = C, BA = B,(-1) = -B = C

Passo 4

Calcular AC e CA:
AC = (-1),C = -C = -(-B) = B, CA = C,(-1) = -C = B

Passo 5

Calcular BC e CB:
BC = B(-B) = -(B^2) = -1 = A, CB = (-B)B = -(B^2) = A

Resposta

A^2 = 1
B^2 = 1
C^2 = 1
AB = BA = C
AC = CA = B
BC = CB = A

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