3.2.7 Dadas as três matrizes
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right), \quad \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right), \quad \mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right),
ache todos os produtos possíveis de \mathrm{A}, \mathrm{B} e C , dois por vez, incluindo quadrados. Expresse suas respostas em termos de A, B e C, e 1, a matriz unitária. Essas três matrizes, juntamente com a matriz unitária, formam uma representação de um grupo matemático, o Vierergruppe (veja a Capítulo 4).

Passo 1

O enunciado pede todos os produtos possíveis de \mathrm{A}, \mathrm{B} e \mathrm{C}, dois a dois, incluindo cada quadrado, e que expressemos os resultados em termos de \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} e 1 (a matriz identidade).

Passo 2

Calcular os quadrados:
  • Como \mathrm{A}=-1\cdot I, temos
\mathrm{A}^2 = (-1\cdot I)^2 = I = 1.
  • A matriz \mathrm{B} troca as coordenadas, logo ao aplicá-la duas vezes retorna ao vetor inicial:
\mathrm{B}^2 = 1.
  • Como \mathrm{C} = -\,\mathrm{B}, segue
\mathrm{C}^2 = (-\mathrm{B})^2 = \mathrm{B}^2 = 1.

Passo 3

Calcular \mathrm{A}\mathrm{B} e \mathrm{B}\mathrm{A}:
\mathrm{A}\mathrm{B} = (-1)\,\mathrm{B} = -\mathrm{B} = \mathrm{C}, \quad \mathrm{B}\mathrm{A} = \mathrm{B}\,(-1) = -\mathrm{B} = \mathrm{C}.

Passo 4

Calcular \mathrm{A}\mathrm{C} e \mathrm{C}\mathrm{A}:
\mathrm{A}\mathrm{C} = (-1)\,\mathrm{C} = -\mathrm{C} = -(-\mathrm{B}) = \mathrm{B}, \quad \mathrm{C}\mathrm{A} = \mathrm{C}\,(-1) = -\mathrm{C} = \mathrm{B}.

Passo 5

Calcular \mathrm{B}\mathrm{C} e \mathrm{C}\mathrm{B}:
\mathrm{B}\mathrm{C} = \mathrm{B}(-\mathrm{B}) = -(\mathrm{B}^2) = -1 = \mathrm{A}, \quad \mathrm{C}\mathrm{B} = (-\mathrm{B})\mathrm{B} = -(\mathrm{B}^2) = \mathrm{A}.

Resposta

\mathrm{A}^2 = 1
\mathrm{B}^2 = 1
\mathrm{C}^2 = 1
\mathrm{A}\mathrm{B} = \mathrm{B}\mathrm{A} = \mathrm{C}
\mathrm{A}\mathrm{C} = \mathrm{C}\mathrm{A} = \mathrm{B}
\mathrm{B}\mathrm{C} = \mathrm{C}\mathrm{B} = \mathrm{A}

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