(UF-PI) Duas retas r e s do plano se interceptam no ponto (-1,6) e formam, com o eixo das abscissas, ângulos agudos alpha e beta, respectivamente. Se tg(alpha)=3 e tg(beta)=2, uma possibilidade para a medida da área do triângulo formado por r e s, e o eixo das abscissas é:
a) 11 unidades de área
b) 12 unidades de área
c) 13 unidades de área
d) 14 unidades de área
e) 15 unidades de área

Passo 1

O enunciado diz que temos duas retas r e s que se cruzam em P=(-1,6). Cada reta faz um ângulo agudo com o eixo x, de modo que
tg(alpha)=3 Longrightarrow mr=3,
tg(beta)=2 Longrightarrow ms=2
O conteúdo é “equação de reta e geometria do triângulo no plano”. Para achar a área do triângulo formado por r, s e o eixo x, precisamos:
  1. Escrever as equações de r e s.
  2. Determinar os pontos de interseção dessas retas com y=0.
  3. Calcular a área do triângulo cujos vértices são esses dois pontos de interseção e P.

Passo 2

Equação da reta r (pendente mr=3) passando por P=(-1,6):
y-6 = 3,(x+1) Longrightarrow y = 3x + 3 + 6 = 3x + 9
Interseção de r com o eixo x ( y=0):
0 = 3x + 9 Longrightarrow x = -3
Então o ponto de interseção é
A = (-3,,0)

Passo 3

Equação da reta s (pendente ms=2) passando por P=(-1,6):
y-6 = 2,(x+1) Longrightarrow y = 2x + 2 + 6 = 2x + 8
Interseção de s com o eixo x ( y=0):
0 = 2x + 8 Longrightarrow x = -4
Então o ponto de interseção é
B = (-4,,0)

Passo 4

Os vértices do triângulo são
A = (-3,0), B = (-4,0), P = (-1,6)
Como AB está no eixo x, seu comprimento é
|AB| = |-3 - (-4)| = 1
A altura do triângulo, medida perpendicular ao eixo x, é simplesmente a coordenada y de P, ou seja 6. Logo, a área é
Área = basetimesa<ura2 = 1 cdot 62 = 3 Á

Resposta

A área do triângulo é 3 unidades de área.

Exercícios de Livros Relacionados