(FGV-SP) No plano cartesiano, os pontos ( x, y ) que satisfazem a equação |x|+|y|=2 determinam um polígono cujo perímetro é:
a) 2 raiz2
b) 4+2 raiz2
c) 4 raiz2
d) 8+4 raiz2
e) 8 raiz2

Passo 1

O enunciado pede o perímetro do conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
|x| + |y| = 2
Esse conjunto forma um polígono no plano. Vamos usar geometria analítica para descobrir os vértices e depois calcular distâncias.

Passo 2

Para achar os vértices, note que:
– se x=0, então |y|=2, logo y=pm2, dando os pontos (0,2) e (0,-2).
– se y=0, então |x|=2, logo x=pm2, dando os pontos (2,0) e (-2,0).
Portanto os vértices do polígono são
(2,0),;(0,2),;(-2,0),;(0,-2)

Passo 3

Esses vértices conectados em ordem formam um losango. O comprimento de cada lado, por exemplo entre (2,0) e (0,2), é
d = raiz(2-0)^2 + (0-2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 4

Como o losango tem quatro lados iguais, o perímetro P é
P = 4 times (2raiz2) = 8raiz2

Resposta

(e)

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