(EEAR-04) Numa P.A., o 10^{\circ} termo e a soma dos 30 primeiros termos valcm, respectivamente, 26 e 1440. A razão dessa progressão é
a) 2 .
b) 3 .
c) 4 .
d) 6 .

Solução: Alternativa C

i) a_{10}=26 \Rightarrow a_{1}+9 r=26 \Rightarrow 2 a_{1}+18 r=52
ii) \mathrm{S}_{30}=\frac{\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{30}\right)(30)}{2}=1440 \Rightarrow 2 \mathrm{a}_{1}+29 \mathrm{r}=96
Subtraindo as equações (2) e (1): 11 r=44 \Rightarrow r=4

Passo 1

O enunciado pede a razão r de uma progressão aritmética em que o décimo termo vale 26 e a soma dos primeiros 30 termos é 1440. Para resolver, vamos usar a fórmula do termo geral e a fórmula da soma dos termos.

Passo 2

A fórmula do n-ésimo termo de uma P.A. é
a_{n} = a_{1} + (n-1)\,r.
No caso de n=10,
a_{10} = a_{1} + 9r,
e como a_{10}=26, segue
a_{1} + 9r = 26.

Passo 3

A fórmula da soma dos primeiros n termos é
S_{n} = \frac{n}{2}\bigl(2a_{1} + (n-1)r\bigr).
Para n=30,
S_{30} = \frac{30}{2}\bigl(2a_{1} + 29r\bigr) = 15\bigl(2a_{1} + 29r\bigr).
Como S_{30}=1440, obtemos
2a_{1} + 29r = \frac{1440}{15} = 96.

Passo 4

Agora formamos o sistema
\begin{cases} a_{1} + 9r = 26,\\[6pt] 2a_{1} + 29r = 96. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por 2 para eliminar a_{1}:
2a_{1} + 18r = 52.
Subtraindo esta da segunda:
(2a_{1} + 29r) - (2a_{1} + 18r) = 96 - 52 \quad\Longrightarrow\quad 11r = 44 \quad\Longrightarrow\quad r = 4.]

Resposta

(c)

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