Provar que se a, b, c estão em P A, nesta ordem, então vale a relação:
2\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)+21 a b c=3(a+b+c)(a b+b c+c a) .

Soluçāo:

Se (a, b, c) é uma PA então a+c=2 b \Rightarrow(a+c)^{3}=8 b^{3} \Rightarrow
a^{3}+c^{3}+3 a^{2} c+3 a c^{2}=8 b^{3} \Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3 a c(a+c)=9 b^{3} \Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+6 a b c=9 b^{3} \Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=9 b^{3}-6 a b c 2\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)+21 a b c=18 b^{3}-12 a b c+21 a b c=18 b^{3}+9 a b c.
Por outro lado:
\begin{aligned} & (a+b+c)(a b+b c+c a)=(3 b)(b(a+c)+c a)=(3 b)\left(2 b^{2}+a c\right)=6 b^{3}+3 a b c \Rightarrow \\\ & 3(a+b+c)(a b+b c+c a)=18 b^{3}+9 a b c . \end{aligned}
Assim, concluimos que se (a, b, c) é uma PA então:
2\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)+2 l a b c=3(a+b+c)(a b+b c+c a).

Passo 1

O enunciado diz que a,b,c estão em progressão aritmética (PA) nessa ordem. Isso significa que
a + c = 2b.
Queremos usar essa propriedade e manipulações algébricas para chegar a
2\bigl(a^{3}+b^{3}+c^{3}\bigr)+21\,abc \;=\;3\,(a+b+c)\,(ab+bc+ca).

Passo 2

Da relação \,a+c=2b elevamos ao cubo:
(a+c)^{3} = (2b)^{3} = 8b^{3}.
Expandindo o lado esquerdo:
a^{3} + 3a^{2}c + 3ac^{2} + c^{3} = 8b^{3} \;\Longrightarrow\; a^{3} + c^{3} + 3ac\,(a+c) = 8b^{3}.
Substituindo novamente a+c=2b em 3ac\,(a+c) obtemos 6\,abc. Logo,
a^{3} + c^{3} + 6\,abc = 8b^{3} \;\Longrightarrow\; a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6\,abc = 8b^{3} + b^{3} = 9b^{3}
e, portanto,
a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9b^{3} - 6\,abc.

Passo 3

Multiplicamos essa igualdade por 2 e somamos 21\,abc:
2\bigl(a^{3}+b^{3}+c^{3}\bigr)+21\,abc =2\bigl(9b^{3}-6\,abc\bigr)+21\,abc =18b^{3}-12\,abc+21\,abc =18b^{3}+9\,abc.

Passo 4

Agora calculamos o outro lado da identidade:
a+b+c = a+c+b = 2b + b = 3b,
ab+bc+ca = b(a+c) + ac = b\cdot 2b + ac = 2b^{2} + ac.
Então
(a+b+c)(ab+bc+ca) =3b\,(2b^{2}+ac) =6b^{3}+3\,abc
e, multiplicando por 3,
3\,(a+b+c)(ab+bc+ca) =3\,(6b^{3}+3\,abc) =18b^{3}+9\,abc.

Resposta

Como em ambos os lados chegamos a 18b^{3}+9\,abc, a identidade está provada:
2\bigl(a^{3}+b^{3}+c^{3}\bigr)+21\,abc =3\,(a+b+c)\,(ab+bc+ca).

Exercícios de Livros Relacionados