EFICIÊNCIA NO TRABALHO Um especialista em eficiência no trabalho, contratado por uma empresa, compilou os seguintes dados a respeito da relação entre a produção e a experiência dos operários:
Experiência (meses)06
Produção Q (unidades por hora)300410
O especialista acredita que a produção Q esteja relacionada com a experiência t por uma função da forma Q(t)=500- A e^{-k t}. Determine a função Q(t) com essa forma que melhor se ajusta aos dados experimentais. Qual é a produção esperada de um operário com 1 ano de experiência?

Passo 1

O enunciado nos fornece um modelo de crescimento da produção em função da experiência dado por
Q(t)=500 - A\,e^{-k\,t},
onde t está em meses e Q em unidades por hora. Temos dois dados experimentais:
(t=0,\;Q=300) e (t=6,\;Q=410). Nosso objetivo é ajustar A e k a esses pontos e, em seguida, usar o modelo para prever Q(12).

Passo 2

Usamos o ponto (0,300). Substituindo t=0 em
Q(0)=500 - A\,e^{-k\cdot0}=500 - A=300,
vemos que
A=500 - 300=200.

Passo 3

Agora usamos o ponto (6,410). Com A=200, temos
Q(6)=500 - 200\,e^{-6k}=410 \quad\Longrightarrow\quad 200\,e^{-6k}=500-410=90
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e^{-6k}=\frac{90}{200}=0,45 \quad\Longrightarrow\quad -6k=\ln(0,45) \quad\Longrightarrow\quad k=-\frac{1}{6}\ln(0,45)\approx0,1330.

Passo 4

Substituindo A e k no modelo, obtemos a função ajustada
Q(t)=500 - 200\,e^{-0,1330\,t}.

Passo 5

Para um operário com 1 ano de experiência, isto é t=12 meses, temos
Q(12)=500 - 200\,e^{-0,1330\cdot12} \approx500 - 200\cdot e^{-1,596} \approx500 - 200\cdot0,2025 \approx459,5.

Resposta

A função ajustada é
Q(t)=500 - 200\,e^{-0,1330\,t}
e a produção esperada com 1 ano de experiência é aproximadamente 459,5 unidades por hora.

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