Empregando a derivada, achar a diferencial da função y=\cos x, para x=\frac{\pi}{6} e \Delta x=\frac{\pi}{36}.

Passo 1

O enunciado pede a diferencial da função
y = \cos x
avaliada em x_0 = \tfrac{\pi}{6} para o incremento \Delta x = \tfrac{\pi}{36}.
Conteúdo: usar derivada para obter a diferencial dy = y'(x)\,dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y=\cos x:
y'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x.

Passo 3

A diferencial é dada por
dy = y'(x)\,dx = -\sin x \;dx.
Substituindo x = x_0 e dx = \Delta x, temos
dy = -\sin\bigl(x_0\bigr)\,\Delta x.

Passo 4

Avaliaremos \sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac12 e \Delta x=\tfrac{\pi}{36}:
dy = -\frac12\,\frac{\pi}{36} = -\frac{\pi}{72}.

Resposta

dy = -\frac{\pi}{72}.

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