Encontre algebricamente uma função cúbica com as raízes dadas. Você pode conferir a função obtida esboçando o gráfico manualmente ou com uma calculadora apropriada.
\sqrt{3},-\sqrt{3}, 4

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos algebricamente um polinômio cúbico cujas raízes são \sqrt{3}, -\sqrt{3} e 4.
Conteúdo: polinômios, Teorema do Fator e multiplicação de polinômios.

Passo 2

Pelo Teorema do Fator, se \alpha é raiz de um polinômio, então (x-\alpha) é fator desse polinômio. Assim, uma forma geral de um cúbico com raízes dadas é
f(x) = k\,(x - \sqrt{3})\,(x + \sqrt{3})\,(x - 4),
onde k é uma constante não nula. Para simplificar, escolhemos k=1.

Passo 3

Agrupamos os dois primeiros fatores, que formam uma diferença de quadrados:
(x - \sqrt{3})\,(x + \sqrt{3}) = x^2 - (\sqrt{3})^2 = x^2 - 3.
Portanto
f(x) = (x^2 - 3)\,(x - 4).

Passo 4

Agora expandimos o produto (x^2 - 3)\,(x - 4):
x^2\cdot x = x^3,\quad x^2\cdot(-4) = -4x^2,\quad (-3)\cdot x = -3x,\quad (-3)\cdot(-4) = +12.
Somando todos os termos, obtemos
f(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 12.

Resposta

A função cúbica de coeficiente líder 1 cujas raízes são \sqrt{3}, -\sqrt{3} e 4 é
f(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 12.

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