Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
f(x)=(x-2)^{2}(x+1)(x-3)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x) = (x-2)^{2}(x+1)(x-3)
de modo a visualizar suas raízes e extremos, e descrever o comportamento de f(x) nos extremos do domínio. O conteúdo principal envolve identificação de zeros (com suas multiplicidades), análise de derivada para achar extremos locais e estudo do comportamento assintótico (end-behavior) de um polinômio de grau 4.

Passo 2

Identificamos as raízes e suas multiplicidades. Da forma fatorada
f(x)=(x-2)^{2}(x+1)(x-3)
vemos que:
x=-1 é raiz simples (multiplicidade 1), atravessa o eixo.
x=2 é raiz dupla (multiplicidade 2), toca o eixo e “bate” sem atravessar.
x=3 é raiz simples (multiplicidade 1), atravessa o eixo.

Passo 3

Para o comportamento nos extremos do domínio (end-behavior), basta olhar o termo de maior grau. Expandindo mentalmente o fator principal (x-2)^{2}(x+1)(x-3), o coeficiente de x^{4} é positivo. Logo:
\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.

Passo 4

Calculamos a derivada para achar os pontos críticos. Usando a regra do produto:
f'(x)=2(x-2)(x+1)(x-3)\,(x-2)+(x-2)^{2}\,\bigl[(x-3)+(x+1)\bigr].
Agrupando fatores:
f'(x)=2(x-2)^{2}\,(x+1)(x-3)+(x-2)^{2}(2x-2) =2(x-2)^{2}\bigl[(x+1)(x-3)+x-1\bigr].
Expandindo o colchete:
(x+1)(x-3)+x-1 = x^{2}-2x-3 + x-1 = x^{2}-x-4,
então
f'(x)=2(x-2)^{2}\,(x^{2}-x-4).
As raízes de f'(x)=0 são x=2 (multiplicidade 2) e as soluções de x^{2}-x-4=0, ou seja
x = \frac{1\pm\sqrt{17}}{2} \approx -1,561\quad\text{e}\quad 2,561.

Passo 5

Analisamos o sinal de f'(x):
– Para x<\tfrac{1-\sqrt{17}}{2}, x^{2}-x-4>0 e (x-2)^{2}>0, logo f'(x)>0 (função crescente).
– Entre \tfrac{1-\sqrt{17}}{2} e 2,561, x^{2}-x-4<0, então f'(x)<0 (decrescente).
– Para x>2,561, x^{2}-x-4>0, logo f'(x)>0 (crescente).
Em x=2, apesar de f'(2)=0, o sinal de f' não muda (é um ponto de inflexão tangente).
Portanto:
x=\tfrac{1-\sqrt{17}}{2} é ponto de máximo local.
x=2 é ponto de inflexão (raiz dupla).
x=\tfrac{1+\sqrt{17}}{2} é ponto de mínimo local.

Passo 6

Calculamos f nos extremos locais:
x_{\,\max}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561,\quad f(x_{\,\max})\approx 32,5;
x_{\,\min}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\approx 2,561,\quad f(x_{\,\min})\approx -0,49.

Passo 7

Esboço qualitativo e comportamento final:
– Como x\to-\infty, f(x)\to+\infty.
– Desce até um máximo em x\approx -1,561 com f\approx32,5.
– Passa pela raiz simples x=-1 (atravessa o eixo) e continua decrescendo até tocar o eixo em x=2 (raiz dupla).
– Desce um pouco mais até o mínimo em x\approx2,561 com f\approx-0,49.
– Depois cruza novamente em x=3 e cresce sem limite conforme x\to+\infty.

Resposta

O gráfico é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo, apresentando raízes em x=-1 e x=3 (simples, atravessa o eixo) e x=2 (dupla, tangencia o eixo). Há máximo local em x=\tfrac{1-\sqrt{17}}{2}\approx-1,561 e mínimo local em x=\tfrac{1+\sqrt{17}}{2}\approx2,561. Nos extremos do domínio, f(x)\to+\infty tanto para x\to-\infty quanto para x\to+\infty.

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