Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
de modo a visualizar suas raízes e extremos, e descrever o comportamento de
nos extremos do domínio. O conteúdo principal envolve identificação de zeros (com suas multiplicidades), análise de derivada para achar extremos locais e estudo do comportamento assintótico (end-behavior) de um polinômio de grau 4.
Passo 2
Identificamos as raízes e suas multiplicidades. Da forma fatorada
vemos que:
– é raiz simples (multiplicidade 1), atravessa o eixo.
– é raiz dupla (multiplicidade 2), toca o eixo e “bate” sem atravessar.
– é raiz simples (multiplicidade 1), atravessa o eixo.
–
–
–
Passo 3
Para o comportamento nos extremos do domínio (end-behavior), basta olhar o termo de maior grau. Expandindo mentalmente o fator principal
, o coeficiente de
é positivo. Logo:
Passo 4
Calculamos a derivada para achar os pontos críticos. Usando a regra do produto:
Agrupando fatores:
Expandindo o colchete:
então
As raízes de
são
(multiplicidade 2) e as soluções de
, ou seja
Passo 5
Analisamos o sinal de
:
– Para ,
e
, logo
(função crescente).
– Entre e
,
, então
(decrescente).
– Para ,
, logo
(crescente).
Em , apesar de
, o sinal de
não muda (é um ponto de inflexão tangente).
– Para
– Entre
– Para
Em
Portanto:
– é ponto de máximo local.
– é ponto de inflexão (raiz dupla).
– é ponto de mínimo local.
–
–
–
Passo 6
Calculamos
nos extremos locais:
Passo 7
Esboço qualitativo e comportamento final:
– Como ,
.
– Desce até um máximo em com
.
– Passa pela raiz simples (atravessa o eixo) e continua decrescendo até tocar o eixo em
(raiz dupla).
– Desce um pouco mais até o mínimo em com
.
– Depois cruza novamente em e cresce sem limite conforme
.
– Como
– Desce até um máximo em
– Passa pela raiz simples
– Desce um pouco mais até o mínimo em
– Depois cruza novamente em
Resposta
O gráfico é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo, apresentando raízes em
e
(simples, atravessa o eixo) e
(dupla, tangencia o eixo). Há máximo local em
e mínimo local em
. Nos extremos do domínio,
tanto para
quanto para
.