Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
f(x)=-3 x^{4}-5 x^{3}+15 x^{2}-5 x+19

Passo 1

Temos a função polinomial quartica
f(x) = -3x^{4} -5x^{3} +15x^{2} -5x +19
com coeficiente de x^{4} negativo, logo à medida que x\to\pm\infty teremos f(x)\to -\infty. Para esboçar o gráfico vamos (a) encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0, (b) avaliar f nesses pontos para classificar máximos e mínimos, (c) localizar as raízes reais aproximadas e (d) descrever o comportamento nos extremos do domínio.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{4}-5x^{3}+15x^{2}-5x+19\bigr) =-12x^{3}-15x^{2}+30x-5
e resolvemos
-12x^{3}-15x^{2}+30x-5=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 12x^{3}+15x^{2}-30x+5=0.
Por tentativa de raízes racionais e bisseção encontram-se aproximadamente
x_{1}\approx -2{,}38, \quad x_{2}\approx 0{,}19, \quad x_{3}\approx 0{,}94.

Passo 3

Avaliaremos f em cada ponto crítico para ver se são máximos ou mínimos:
Para x_{1}\approx -2{,}38,
f(x_{1})\approx -3(2{,}38)^{4}-5(-2{,}38)^{3}+15(2{,}38)^{2}-5(-2{,}38)+19\approx 86{,}98,
é um máximo local.
Para x_{2}\approx 0{,}19,
f(x_{2})\approx 18{,}55,
é um mínimo local.
Para x_{3}\approx 0{,}94,
f(x_{3})\approx 21{,}06,
é outro máximo local.

Passo 4

Buscamos as raízes reais de f(x)=0 por mudança de sinal e bisseção:
\,f(1)>0, f(2)<0 \to raiz x\approx 1{,}77.
\,f(-3)>0, f(-4)<0 \to raiz x\approx -3{,}42.
Não há outras intersecções com o eixo x, então são duas raízes reais.

Passo 5

Como o coeficiente de x^{4} é negativo,
\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
– Vem de -\infty em x\to-\infty, sobe até o máximo em ({-2{,}38},86{,}98), desce e cruza o eixo x em -3{,}42 (na verdade cruza antes de alcançar o máximo, mas muda de sinal na vizinhança indicada), continua acima do eixo até o mínimo em (0{,}19,18{,}55), sobe de novo até o máximo em (0{,}94,21{,}06), desce e cruza o eixo x em (1{,}77,0) e finalmente tende a -\infty conforme x\to+\infty.

Resposta

As principais características são:
– Máximos locais em
(x,y)\approx(-2{,}38,\,86{,}98) e (0{,}94,\,21{,}06).
– Mínimo local em
(x,y)\approx(0{,}19,\,18{,}55).
– Raízes reais em
x\approx -3{,}42 e x\approx 1{,}77.
– Comportamento nos extremos do domínio:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty e \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.

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