Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
Passo 1
Temos a função polinomial quartica
com coeficiente de
negativo, logo à medida que
teremos
. Para esboçar o gráfico vamos (a) encontrar os pontos críticos resolvendo
, (b) avaliar
nesses pontos para classificar máximos e mínimos, (c) localizar as raízes reais aproximadas e (d) descrever o comportamento nos extremos do domínio.
Passo 2
Calculamos a derivada
e resolvemos
Por tentativa de raízes racionais e bisseção encontram-se aproximadamente
Passo 3
Avaliaremos
em cada ponto crítico para ver se são máximos ou mínimos:
Para ,
Para
é um máximo local.
Para ,
Para
é um mínimo local.
Para ,
Para
é outro máximo local.
Passo 4
Buscamos as raízes reais de
por mudança de sinal e bisseção:
,
raiz
.
,
raiz
.
Não há outras intersecções com o eixo , então são duas raízes reais.
Não há outras intersecções com o eixo
Passo 5
Como o coeficiente de
é negativo,
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
– Vem de em
, sobe até o máximo em
, desce e cruza o eixo
em
(na verdade cruza antes de alcançar o máximo, mas muda de sinal na vizinhança indicada), continua acima do eixo até o mínimo em
, sobe de novo até o máximo em
, desce e cruza o eixo
em
e finalmente tende a
conforme
.
– Vem de
Resposta
As principais características são:
– Máximos locais em
e
.
– Mínimo local em
.
– Raízes reais em
e
.
– Comportamento nos extremos do domínio:
e
.
– Máximos locais em
– Mínimo local em
– Raízes reais em
– Comportamento nos extremos do domínio: