Encontre e esboce o potencial. Obtenha o potencial complexo:
Entre placas paralelas em y=x e x+k, com potenciais de 0 e 100 V , respectivamente

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico entre duas placas infinitas e paralelas dadas pelas retas
y = x
e
y = x + k,
com potencial 0,V em y = x e 100,V em y = x + k.
Conteúdo: resolução de Laplace em coordenadas cartesianas e obtenção do potencial complexo F(z)=\varphi+i\psi.

Passo 2

Para simplificar, introduzimos as coordenadas rotacionadas
\xi = y - x, \quad \eta = y + x.
Nas novas coordenadas, as placas ficam em
\xi=0 (potencial 0)
e
\xi=k (potencial 100),
e a região entre elas é 0<\xi<k.

Passo 3

Como a região é infinita em \eta e as fronteiras são \xi=constantes, a solução de Laplace depende só de \xi. Fazendo interpolação linear:
\varphi(\xi) = A\,\xi + B,
com \varphi(0)=0 e \varphi(k)=100 leva a
B=0, \quad A=\frac{100}{k},
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\varphi(x,y) = \frac{100}{k}\,\xi = \frac{100}{k}\,(y - x).

Passo 4

Para achar o potencial complexo F(z)=\varphi+i\psi basta usar as equações de Cauchy–Riemann. Primeiro calculamos
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = -\frac{100}{k}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{100}{k}.
Então
F'(z) = \frac{\partial \varphi}{\partial x} - i\frac{\partial \varphi}{\partial y} = -\frac{100}{k} - i\frac{100}{k} = -\frac{100}{k}\,(1+i).

Passo 5

Integrando
F(z) = \int F'(z)\,dz = -\frac{100}{k}\,(1+i)\,z + C.
Podemos tomar a constante C=0 pois não altera diferenças de potencial. Assim
F(z) = -\frac{100\,(1+i)}{k}\;z,
com parte real
\varphi(x,y) = \Re F(z) = \frac{100}{k}\,(y - x),
e parte imaginária
\psi(x,y) = -\frac{100}{k}\,(x + y).

Passo 6

As linhas equipotenciais são dadas por
y - x = \mathrm{const},
ou seja, retas paralelas às placas. As linhas de campo (linhas de corrente em F) são
x + y = \mathrm{const},
perpendiculares às equipotenciais.

Resposta

O potencial elétrico é
\varphi(x,y) = \frac{100}{k}\,(y - x),
e o potencial complexo é
F(z) = -\frac{100\,(1+i)}{k}\;z.

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