Encontre f(1), f(2), f(3), f(4) e f(5) se f(n) for definido recursivamente por f(0)=3 e para n=0,1,2, \ldots
f(n+1)=-2 f(n).

Passo 1

O enunciado define uma sequência f por
f(0)=3
e, para n=0,1,2,\dots,
f(n+1)=-2\,f(n).
O conteúdo envolvido é recursão de primeira ordem homogênea com coeficiente constante. Vamos primeiro encontrar a forma fechada de f(n) e depois calcular f(1) a f(5).

Passo 2

Observando que
f(1)=-2\,f(0)=-2\cdot 3=3\cdot(-2)^1,
e supondo que f(n)=3\cdot(-2)^n, então pela definição
f(n+1)=-2\,f(n)=-2\bigl(3\cdot(-2)^n\bigr)=3\cdot(-2)^{n+1}.
Por indução, a forma fechada é
f(n)=3\cdot(-2)^n\quad\text{para todo }n\ge0.

Passo 3

Agora basta substituir n=1,2,3,4,5 na fórmula f(n)=3\cdot(-2)^n:
f(1)=3\cdot(-2)^1=-6,\quad f(2)=3\cdot(-2)^2=12,\quad f(3)=3\cdot(-2)^3=-24,
f(4)=3\cdot(-2)^4=48,\quad f(5)=3\cdot(-2)^5=-96.

Resposta

f(1) = -6
f(2) = 12
f(3) = -24
f(4) = 48
f(5) = -96

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