Encontre f(1), f(2), f(3), f(4) e f(5) se f(n) for definido recursivamente por f(0)=3 e para n=0,1,2, \ldots
f(n+1)=3^{f(n) / 3}.

Passo 1

O enunciado define a sequência f por f(0)=3 e, para todo n\ge0,
f(n+1)=3^{\frac{f(n)}{3}}.
Precisamos calcular f(1),f(2),f(3),f(4) e f(5). O conteúdo é recursão com exponenciação.

Passo 2

Para n=0,
f(1)=3^{\frac{f(0)}{3}}=3^{\frac{3}{3}}=3^1=3.

Passo 3

Agora, com f(1)=3,
f(2)=3^{\frac{f(1)}{3}}=3^{\frac{3}{3}}=3.

Passo 4

Suponha que, para algum k\ge0, f(k)=3. Então
f(k+1)=3^{\frac{f(k)}{3}}=3^{\frac{3}{3}}=3.
Por indução, isso vale para todo n\ge0. Logo,
f(3)=3,\quad f(4)=3,\quad f(5)=3.

Resposta

f(1)=3,\;f(2)=3,\;f(3)=3,\;f(4)=3,\;f(5)=3.

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