Encontre uma forma fechada para a função generalizada de cada uma das seqüências abaixo. (Para cada seqüência, utilize a escolha mais óbvia de uma seqüência que contenha os termos iniciais listados.)
0,0,0,1,1,1,1,1,1, \ldots

Passo 1

O enunciado pede a forma fechada da função geradora da sequência
0,0,0,1,1,1,1,1,1,\ldots
Logo, o conteúdo é função geradora de sequência, e vamos usar a soma de uma progressão geométrica para montar essa função.

Passo 2

Definimos os termos da sequência por
a_n = \begin{cases} 0, & n<3,\\\\ 1, & n\ge3. \end{cases}
Assim, a função geradora será
A(x) \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n \;=\;\sum_{n=3}^{\infty}x^n.

Passo 3

Reconhecemos que
\sum_{n=3}^{\infty}x^n = x^3 \sum_{k=0}^{\infty}x^k
fazendo a troca k=n-3 na soma.

Passo 4

Como \sum_{k=0}^{\infty}x^k = \tfrac{1}{1-x} para |x|<1, obtemos
A(x) = x^3\;\frac{1}{1-x} = \frac{x^3}{1-x}.

Resposta

A(x) = \frac{x^3}{1-x}.

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