Encontre uma forma fechada para a função generalizada de cada uma das seqüências abaixo. (Para cada seqüência, utilize a escolha mais óbvia de uma seqüência que contenha os termos iniciais listados.)
2,4,8,16,32,64,128,256, \ldots

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a sequência 2,4,8,16,32,64,128,256,\dots e queremos achar uma forma fechada para o seu termo geral. O conteúdo aqui é progressão geométrica, cujo termo geral é dado em função do primeiro termo e da razão.

Passo 2

Observando os termos, vemos que cada um é o dobro do anterior. Logo, a razão da progressão geométrica é
r = \frac{4}{2} = 2.

Passo 3

Pela definição, o n-ésimo termo de uma PG com primeiro termo a_1 e razão r é
a_n = a_1\,r^{\,n-1}.
Aqui temos a_1 = 2 e r = 2.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula:
a_n = 2 \cdot 2^{\,n-1} = 2^n.

Resposta

a_n = 2^n.

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