Encontre uma forma fechada para a função generalizada de cada uma das seqüências abaixo. (Para cada seqüência, utilize a escolha mais óbvia de uma seqüência que contenha os termos iniciais listados.)
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1, \ldots

Passo 1

O enunciado pede a função geradora (ou seja, a soma de potência) de uma sequência cujos termos iniciais são
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,\dots
O conteúdo é séries de potências e vamos usar a definição de função geradora
A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n,
onde a_n é o n-ésimo termo da sequência.

Passo 2

Para estender “da forma mais óbvia” os termos dados, definimos
a_0=1,\quad a_1=1,\quad a_2=0,
e, a partir de n=3, simplesmente
a_n=1\quad(\text{para }n\ge3).

Passo 3

Escrevemos então
A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n =\underbrace{a_0}_{=1}+\underbrace{a_1}_{=1}x+\underbrace{a_2}_{=0}x^2 +\sum_{n=3}^{\infty}a_n\,x^n.

Passo 4

Substituindo os valores de a_n obtemos
A(x)=1 + x + 0\cdot x^2 + \sum_{n=3}^{\infty}1\cdot x^n =1 + x + \sum_{n=3}^{\infty}x^n.

Passo 5

Reconhecemos a soma geométrica a partir de n=3:
\sum_{n=3}^{\infty}x^n =\frac{x^3}{1-x},
válida para \lvert x\rvert<1.

Passo 6

Portanto a forma fechada da função geradora é
A(x)=1 + x + \frac{x^3}{1-x}.

Resposta

A(x)=1 + x + \frac{x^3}{1-x}.

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