Encontre uma forma fechada para a função generalizada para a seqüência \left\{a_{n}\right\}, em que
a_{n}=2 para n=3,4,5, \ldots e a_{0}=a_{1}=a_{2}=0.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_n\} por
a_0=a_1=a_2=0,\qquad a_n=2\text{ para }n\ge3.
O que precisamos é encontrar a forma fechada da função geratriz ordinária
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n.

Passo 2

Pela definição, os termos de n=0,1,2 não contribuem, pois são nulos. Logo
G(x)=\sum_{n=3}^{\infty}2\,x^n.

Passo 3

Fatoramos o 2 e extraímos x^3 para usar a soma de uma série geométrica:
G(x)=2\sum_{n=3}^{\infty}x^n =2\,x^3\sum_{k=0}^{\infty}x^k.

Passo 4

Sabendo que \sum_{k=0}^{\infty}x^k=1/(1-x) para |x|<1, obtemos
G(x)=2\,x^3\cdot\frac{1}{1-x}.

Resposta

G(x)=\frac{2\,x^3}{1-x},\qquad |x|<1.

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