Encontre uma forma fechada para a função generalizada de cada uma das seqüências abaixo. (Para cada seqüência, utilize a escolha mais óbvia de uma seqüência que contenha os termos iniciais listados.)
Questão 4
\binom{7}{0}, 2\binom{7}{1}, 22^{2}\binom{7}{2}, \ldots, 2^{7}\binom{7}{7}, 0,0,0,0, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência \binom{7}{0},\,2\binom{7}{1},\,2^2\binom{7}{2},\dots,2^7\binom{7}{7},\,0,0,\dots
e pede a forma fechada da função geradora. O conteúdo aqui é função geradora de sequência e vamos usar a definição de função geradora junto com o Teorema Binomial.

Passo 2

Pela definição, a função geradora A(x) dessa sequência é
A(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k\,x^k
onde a_k=2^k\binom{7}{k} para 0\le k\le7 e a_k=0 para k>7.

Passo 3

Restrição do somatório a k=0 até 7:
A(x)=\sum_{k=0}^{7}2^k\binom{7}{k}\,x^k.

Passo 4

Reconhecemos a soma como a expansão binomial de (1+2x)^7, pois
(1+2x)^7=\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}(2x)^k =\sum_{k=0}^{7}2^k\binom{7}{k}\,x^k.

Resposta

A(x)=(1+2x)^7

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