Encontre uma forma fechada para a função generalizada para a seqüência \left\{a_{n}\right\}, em que
Questão 6
a_{n}=\binom{n}{2} para n=0,1,2, \ldots.

Passo 1

O enunciado pede a função geratriz G(x) da sequência \{a_n\} definida por
a_n = \binom{n}{2},\quad n=0,1,2,\dots
A função geratriz é
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n.
Para resolver, vamos usar propriedades de séries de potências conhecidas para somas de n e n(n-1).

Passo 2

Observamos que
\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.
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G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n}{2}x^n =\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)\,x^n.

Passo 3

Lembremos as séries padrão:
\sum_{n=0}^{\infty}n\,x^n=\frac{x}{(1-x)^2}, \qquad \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)\,x^n =x^2\frac{2}{(1-x)^3}.
A segunda fórmula pode ser obtida derivando \sum n\,x^n em relação a x e multiplicando por x.

Passo 4

Substituindo em G(x), temos
G(x) =\frac{1}{2}\,\Bigl(x^2\frac{2}{(1-x)^3}\Bigr) =\frac{x^2}{(1-x)^3}.

Resposta

G(x)=\frac{x^2}{(1-x)^3}.

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