Encontre uma forma fechada para a função generalizada para a seqüência \left\{a_{n}\right\}, em que
Questão 6
a_{n}=1 /(n+1) ! para n=0,1,2, \ldots.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_n\} por
a_n = \frac{1}{(n+1)!},\quad n=0,1,2,\dots
e pede uma forma fechada da sua função geradora ordinária
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n.
Vamos usar propriedades de séries de potências e a expansão de e^x.

Passo 2

Escrevemos diretamente a definição de G(x):
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{(n+1)!}.

Passo 3

Fazemos a troca de índice k=n+1. Quando n=0, k=1, e x^n=x^{k-1}. Portanto,
G(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{k!} =\frac{1}{x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k!}.

Passo 4

Usamos a série da exponencial, que satisfaz
e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!},
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\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k!}=e^x-1.

Passo 5

Substituindo no resultado do passo anterior, obtemos
G(x)=\frac{1}{x}\bigl(e^x-1\bigr).

Resposta

A forma fechada da função geradora é
G(x)=\frac{e^x-1}{x}.

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