Encontre uma forma fechada para a função generalizada de cada uma das seqüências abaixo. (Para cada seqüência, utilize a escolha mais óbvia de uma seqüência que contenha os termos iniciais listados.)
Questão 4
-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0, \ldots

Passo 1

O enunciado pede uma forma fechada para a sequência cujos sete primeiros termos são -1 e, a partir do oitavo termo, todos são 0. O conteúdo da matéria aqui é obter uma expressão única que reproduza esse “salto” em n=8.

Passo 2

Definimos a_n como o n-ésimo termo da sequência, com n\ge1. Então queremos
a_n = \begin{cases} -1, & 1 \le n \le 7,\\\\ 0, & n \ge 8. \end{cases}

Passo 3

Uma maneira clássica de escrever esse tipo de sequência é usar a função degrau de Heaviside discreta
H(k)= \begin{cases} 0, & k<0,\\\\ 1, & k\ge0. \end{cases}
Observamos que H(n-8)=0 para n<8 e H(n-8)=1 para n\ge8.

Passo 4

Para n<8 temos H(n-8)=0, de modo que
-1 + H(n-8) = -1 + 0 = -1.
Para n\ge8 temos H(n-8)=1, de modo que
-1 + H(n-8) = -1 + 1 = 0.
Logo a expressão única
a_n = -1 + H(n-8)
reproduz exatamente os sete primeiros -1 e, a partir do oitavo termo, zeros.

Resposta

\boxed{a_n = -1 + H(n-8),\quad n\ge1.}

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