Encontre uma fórmula explícita para
se
e
para
. Demonstre seu resultado usando a indução matemática.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Este tipo de recorrência soma números ímpares, e é conhecido que
Suspeitamos, então, que
Passo 2
Para confirmar essa fórmula, escrevemos
Passo 3
Agora, provamos por indução em
que
para todo
.
Base
: por definição
e a fórmula dá
, logo vale.
Passo indutivo: suponha que para algum
tenhamos
. Então
Assim, se vale para
, vale para
.
Passo 4
Pela base e pelo passo indutivo, a fórmula
é válida para todo
,
.