Encontre uma fórmula explícita para f(n) se f(1)=1 e f(n) =f(n-1)+2 n-1 para n \geq 2. Demonstre seu resultado usando a indução matemática.

Passo 1

O enunciado define a sequência f por
f(1)=1,
f(n)=f(n-1)+2n-1\quad\text{para }n\ge2.
Este tipo de recorrência soma números ímpares, e é conhecido que
\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2.
Suspeitamos, então, que
f(n)=n^2.

Passo 2

Para confirmar essa fórmula, escrevemos
f(n)=f(1)+\sum_{k=2}^n\bigl(2k-1\bigr) =1+\sum_{k=2}^n(2k-1) =\sum_{k=1}^n(2k-1) =n^2.

Passo 3

Agora, provamos por indução em n que f(n)=n^2 para todo n\ge1.
Base n=1: por definição f(1)=1 e a fórmula dá 1^2=1, logo vale.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 tenhamos f(k)=k^2. Então
f(k+1)=f(k)+2(k+1)-1 =k^2+2k+2-1 =k^2+2k+1 =(k+1)^2.
Assim, se vale para k, vale para k+1.

Passo 4

Pela base e pelo passo indutivo, a fórmula f(n)=n^2 é válida para todo n\in\mathbb{N}, n\ge1.

Resposta

f(n)=n^2.

Exercícios de Livros Relacionados