1. Mostre que f_{n}+f_{n+2}=l_{n+1} sempre que n for um número inteiro positivo, em que f_{i} e l_{i} são o i-ésimo número de Fibonacci e o i-ésimo número de Lucas, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo n, vale
f_{n} + f_{n+2} = l_{n+1},
onde (f_n) é a sequência de Fibonacci e (l_n) é a sequência de Lucas.
O conteúdo é usar as fórmulas de Binet e algumas propriedades dos números \alpha e \beta.

Passo 2

Lembrando as fórmulas de Binet:
\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2},
f_n = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{5}}, \quad l_n = \alpha^n + \beta^n.

Passo 3

Escrevemos f_n + f_{n+2} usando as fórmulas:
f_n + f_{n+2} = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{5}} + \frac{\alpha^{n+2} - \beta^{n+2}}{\sqrt{5}} = \frac{\alpha^{n+2} + \alpha^n - \bigl(\beta^{n+2} + \beta^n\bigr)}{\sqrt{5}}.

Passo 4

Para simplificar os pares \alpha^{n+2} + \alpha^n e \beta^{n+2} + \beta^n, usamos
\alpha^{n+2} + \alpha^n = \alpha^{n+1}\bigl(\alpha + \tfrac{1}{\alpha}\bigr), \quad \beta^{n+2} + \beta^n = \beta^{n+1}\bigl(\beta + \tfrac{1}{\beta}\bigr).
Mas como \alpha\beta = -1, tem-se \tfrac1\alpha = -\beta, logo \alpha + \tfrac1\alpha = \alpha - \beta = \sqrt{5} e \beta + \tfrac1\beta = \beta - \alpha = -\sqrt{5}.

Passo 5

Substituindo,
\alpha^{n+2} + \alpha^n = \alpha^{n+1}\sqrt{5}, \quad \beta^{n+2} + \beta^n = -\beta^{n+1}\sqrt{5}.
Então
f_n + f_{n+2} = \frac{\sqrt{5}\,\alpha^{n+1} - \bigl(-\sqrt{5}\,\beta^{n+1}\bigr)}{\sqrt{5}} = \alpha^{n+1} + \beta^{n+1} = l_{n+1}.

Resposta

f_{n} + f_{n+2} = l_{n+1}.

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