- Mostre que
sempre que
for um número inteiro positivo, em que
e
são o
-ésimo número de Fibonacci e o
-ésimo número de Lucas, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo
, vale
onde
é a sequência de Fibonacci e
é a sequência de Lucas.
O conteúdo é usar as fórmulas de Binet e algumas propriedades dos números e
.
O conteúdo é usar as fórmulas de Binet e algumas propriedades dos números
Passo 2
Lembrando as fórmulas de Binet:
Passo 3
Escrevemos
usando as fórmulas:
Passo 4
Para simplificar os pares
e
, usamos
Mas como
, tem-se
, logo
e
.
Passo 5
Substituindo,
Então