Um conjunto é bem ordenado se todo subconjunto não vazio desse conjunto tiver um menor elemento. Determine se cada um dos conjuntos a seguir é bem ordenado:
o conjunto dos números racionais positivos.
o conjunto dos números racionais positivos.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto dos números racionais positivos, denotado por
, com a ordem usual, é um conjunto bem ordenado. O conteúdo aqui é a definição de ordem bem ordenada, que exige que todo subconjunto não vazio tenha um menor elemento.
Passo 2
Definimos que um conjunto
munido de uma relação de ordem é bem ordenado se, para qualquer subconjunto não vazio
, existe um elemento
tal que
para todo
. Vamos buscar um contraexemplo em
que falhe essa condição.
Passo 3
Considere o subconjunto
Esse
é não vazio e contido em
. Suponha, por absurdo, que exista um menor elemento
. Então
. Mas como
é racional, também
é racional e satisfaz
logo
e
. Isso contradiz a minimalidade de
. Portanto
não tem menor elemento.
Passo 4
Como encontramos um subconjunto não vazio de
que não possui menor elemento, concluímos que
não é bem ordenado pela ordem usual.
Resposta
O conjunto dos números racionais positivos não é bem ordenado.