Um conjunto é bem ordenado se todo subconjunto não vazio desse conjunto tiver um menor elemento. Determine se cada um dos conjuntos a seguir é bem ordenado:
o conjunto dos números racionais positivos.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto dos números racionais positivos, denotado por \mathbb{Q}^+, com a ordem usual, é um conjunto bem ordenado. O conteúdo aqui é a definição de ordem bem ordenada, que exige que todo subconjunto não vazio tenha um menor elemento.

Passo 2

Definimos que um conjunto S munido de uma relação de ordem é bem ordenado se, para qualquer subconjunto não vazio T\subseteq S, existe um elemento m\in T tal que m\le t para todo t\in T. Vamos buscar um contraexemplo em \mathbb{Q}^+ que falhe essa condição.

Passo 3

Considere o subconjunto
T = \{\,q\in \mathbb{Q}^+ \mid 0< q < 1\}.
Esse T é não vazio e contido em \mathbb{Q}^+. Suponha, por absurdo, que exista um menor elemento r\in T. Então 0<r<1. Mas como r é racional, também \tfrac r2 é racional e satisfaz
0 < \frac r2 < r,
logo \tfrac r2\in T e \tfrac r2<r. Isso contradiz a minimalidade de r. Portanto T não tem menor elemento.

Passo 4

Como encontramos um subconjunto não vazio de \mathbb{Q}^+ que não possui menor elemento, concluímos que \mathbb{Q}^+ não é bem ordenado pela ordem usual.

Resposta

O conjunto dos números racionais positivos não é bem ordenado.

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