Encontre o menor número inteiro n para que f(x) seja O\left(x^{n}\right) para cada uma destas funções.
f(x)=2 x^{3}+x^{2} \log x

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro n tal que a função
f(x)=2x^{3}+x^{2}\log x
seja O(x^{n}). O conteúdo aqui é a notação assintótica “ O” e como comparar o crescimento dos termos de f(x).

Passo 2

Pela definição de notação O, dizemos que f(x) é O(x^{n}) se existem constantes C>0 e x_{0} tais que
\lvert f(x)\rvert \le C\,x^{n}
para todo x\ge x_{0}. Para identificar o expoente mínimo, vamos comparar os dois termos de f(x): 2x^{3} e x^{2}\log x.

Passo 3

Note que, para x\ge e, vale \log x\le x. Portanto,
x^{2}\log x \le x^{2}\cdot x = x^{3}.
Logo, para x\ge e,
\lvert f(x)\rvert = 2x^{3} + x^{2}\log x \;\le\; 2x^{3} + x^{3} = 3x^{3},
o que prova que f(x)=O(x^{3}).

Passo 4

Para ver que não serve n=2, observe que
\frac{f(x)}{x^{2}} = 2x + \log x
tende a +\infty quando x\to+\infty. Logo não existem constantes que façam \lvert f(x)\rvert \le C\,x^{2} para x grande, ou seja, f(x) não é O(x^{2}).

Resposta

O menor inteiro n tal que f(x) seja O(x^{n}) é 3.

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