Nos exercícios de 1 a 14, para estabelecer uma relação O grande, encontre os parâmetros C e k, tal que |f(x)| \leq C|g(x)| sempre que x>k.
Determine se cada uma destas funções é O\left(x^{2}\right).
f(x)=x^{4} / 2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se f(x)=\tfrac{x^{4}}{2} é O(x^{2}). Isso significa que queremos ver se existe uma constante C>0 e um k tais que, para todo x>k, valha
|f(x)| \le C\,|x^{2}|.

Passo 2

Escrevendo a desigualdade, temos
\bigl|f(x)\bigr| =\bigl|\tfrac{x^{4}}{2}\bigr| =\tfrac{x^{4}}{2} \le C\,x^{2}.
Dividindo ambos os lados por x^{2}>0, obtemos
\tfrac{x^{2}}{2}\le C.

Passo 3

A expressão \tfrac{x^{2}}{2} cresce sem limite quando x\to+\infty. Não há como encontrar nenhum C finito que satisfaça
\tfrac{x^{2}}{2}\le C \quad\text{para todo \(x>k\)},
pois, dado qualquer C, basta escolher x grande o bastante para que \tfrac{x^{2}}{2}>C. Logo, não existe par (C,k) que funcione.

Resposta

f(x)=\tfrac{x^{4}}{2} não é O(x^{2}).

Exercícios de Livros Relacionados