Encontre o número de inteiros positivos não excedentes a 100 que são ou ímpares ou quadrados de um inteiro.

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos inteiros positivos menores ou iguais a 100 são ímpares ou são quadrados perfeitos de um inteiro. Vamos chamar de A o conjunto dos inteiros ímpares \le100 e de B o conjunto dos quadrados perfeitos \le100. Para obter |A\cup B| usaremos o princípio da inclusão–exclusão:
|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|.

Passo 2

Contagem de A: os números ímpares positivos até 100 são
1,3,5,\dots,99,
ou seja, há exatamente \tfrac{100}{2}=50 ímpares. Logo,
|A| = 50.

Passo 3

Contagem de B: os quadrados perfeitos \le100 são n^2 com 1\le n\le10, ou seja,
B = \{1^2,2^2,\dots,10^2\},
portanto
|B| = 10.

Passo 4

Interseção A\cap B: são os quadrados que também são ímpares, isto é, n^2 com n ímpar e 1\le n\le10. Os valores possíveis de n são 1,3,5,7,9, totalizando 5. Assim,
|A\cap B| = 5.

Passo 5

Aplicando inclusão–exclusão:
|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 50 + 10 - 5 = 55.

Resposta

55

Exercícios de Livros Relacionados