Resolva as seguintes congruências lineares:
3 x equiv 17(bmod 5)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear
3x equiv 17 pmod5
O conteúdo que vamos usar é a solução de congruências do tipo
ax equiv b pmodn,
que se resolve encontrando o gcd(a,n), reduzindo o termo b e, se gcd(a,n)=1, determinando o inverso de a módulo n.

Passo 2

Como 17 pode ser reduzido módulo 5, calculamos
17 bmod 5 = 2,
logo a congruência fica
3x equiv 2 pmod5

Passo 3

Verificamos gcd(3,5)=1, então existe inverso de 3 módulo 5. Buscamos y tal que
3y equiv 1 pmod5
Testando valores, vemos que y=2 funciona, pois
3cdot2 = 6 equiv 1 pmod5
Logo o inverso de 3 módulo 5 é 2.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados de 3x equiv 2pmod5 pelo inverso de 3, que é 2:
x equiv 2cdot 2 pmod5
x equiv 4 pmod5

Resposta

A solução geral é
x equiv 4 pmod5,
isto é, x = 4 + 5k para qualquer inteiro k.

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