Encontre o quociente q(x) e o resto r(x) que resulta da divisão de p(x) por s(x).
p(x)=x^{5}+x^{3}+1 ; s(x)=x^{2}+x

Passo 1

O enunciado pede para achar q(x) e r(x) tais que
p(x)=s(x)\cdot q(x)+r(x)
com \deg r<\deg s. Aqui p(x)=x^{5}+x^{3}+1 e s(x)=x^{2}+x, logo \deg s=2 e r(x) será de grau no máximo 1. Vamos usar divisão polinomial longa.

Passo 2

Vamos dividir o termo de maior grau de p(x) pelo de s(x):
\frac{x^{5}}{x^{2}}=x^{3}.
Multiplicamos s(x) por x^{3}, obtendo x^{5}+x^{4}, e subtraímos de p(x), o que gera o polinômio intermediário
x^{5}+x^{3}+1 \;-\;(x^{5}+x^{4}) =\,-x^{4}+x^{3}+0x^{2}+0x+1.

Passo 3

Agora dividimos -x^{4} pelo termo x^{2} de s(x):
\frac{-x^{4}}{x^{2}}=-x^{2}.
Multiplicamos s(x) por -x^{2}, dando -x^{4}-x^{3}, e subtraímos do intermediário, resultando em
(-x^{4}+x^{3}+\dots)-(-x^{4}-x^{3}) =2x^{3}+0x^{2}+0x+1.

Passo 4

Dividimos 2x^{3} por x^{2}:
\frac{2x^{3}}{x^{2}}=2x.
Multiplicamos s(x) por 2x, obtendo 2x^{3}+2x^{2}, e subtraímos, gerando
(2x^{3}+0x^{2}+\dots)-(2x^{3}+2x^{2}) =-2x^{2}+0x+1.

Passo 5

Por fim, dividimos -2x^{2} por x^{2}:
\frac{-2x^{2}}{x^{2}}=-2.
Multiplicamos s(x) por -2, tendo -2x^{2}-2x, e subtraímos, ficando o resto
(-2x^{2}+0x+1)-(-2x^{2}-2x) =2x+1.

Resposta

q(x)=x^{3}-x^{2}+2x-2, \quad r(x)=2x+1.

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