Encontre o raio de convergência. Você consegue identificar a soma como uma função familiar em alguns destes problemas? (Mostre os detalhes do que fizer.)
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3 z)^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3z)^{n}}{n!}
e sugere identificar a soma como uma função conhecida. O conteúdo aqui é teste da razão para séries de potências e reconhecimento de séries exponenciais.

Passo 2

Escrevemos o termo geral como
a_{n} = \frac{(3z)^{n}}{n!}
e aplicamos o critério da razão, calculando
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|3z|^{n+1}/(n+1)!}{|3z|^{n}/n!} =\lim_{n\to\infty}\frac{|3z|}{n+1}.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{|3z|}{n+1}=0<1
para todo z\in\mathbb{C}, a série converge para qualquer valor de z. Logo, o raio de convergência é infinito.

Passo 4

Reconhecemos que a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}
é a definição da função exponencial e^{t}. Aqui basta tomar t=3z, de modo que
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(3z)^{n}}{n!}=e^{3z}.

Resposta

O raio de convergência é R=\infty. A soma da série é e^{3z}.

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