É possível descobrir propriedades de funções a partir de suas respectivas séries de Maclaurin? Em caso afirmativo, dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pergunta se, conhecendo a série de Maclaurin de uma função, podemos extrair propriedades como paridade, domínio de analiticidade, monotonicidade, concavidade etc. O conteúdo envolve teoria de séries de potências: coeficientes, raio de convergência e relação com derivadas da função. Vamos mostrar exemplos onde esses itens aparecem diretamente na forma da série.
Passo 2
Paridade da função
Uma função é par se só aparece potências pares na série de Maclaurin, e é ímpar se só aparecem potências ímpares. Por exemplo,
Uma função é par se só aparece potências pares na série de Maclaurin, e é ímpar se só aparecem potências ímpares. Por exemplo,
apenas potências
, logo
é par;
apenas potências
, logo
é ímpar.
Passo 3
Raio de convergência e singularidades
O raio de convergência da série de Maclaurin indica até onde a função é analítica e onde surgem singularidades. Por exemplo,
O raio de convergência
que converge para
. A borda
sinaliza singularidade em
. De modo semelhante,
com raio
, indica que há singularidade em
.
Passo 4
Monotonicidade e concavidade via derivadas
A série de Maclaurin permite obter as derivadas termo a termo no interior do raio de convergência. Por exemplo, para
A série de Maclaurin permite obter as derivadas termo a termo no interior do raio de convergência. Por exemplo, para
temos
que é positiva em
, mostrando que
é crescente. E
o que mostra que
é côncava nesse mesmo intervalo.
Resposta
Sim. Exemplos:
Paridade:
(só termos
) é função par,
(só termos
) é ímpar.
Raio de convergência:
converge só para
, revelando singularidade em
.
Monotonicidade/concavidade: de
extraímos
e
.