É possível descobrir propriedades de funções a partir de suas respectivas séries de Maclaurin? Em caso afirmativo, dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pergunta se, conhecendo a série de Maclaurin de uma função, podemos extrair propriedades como paridade, domínio de analiticidade, monotonicidade, concavidade etc. O conteúdo envolve teoria de séries de potências: coeficientes, raio de convergência e relação com derivadas da função. Vamos mostrar exemplos onde esses itens aparecem diretamente na forma da série.

Passo 2

Paridade da função
Uma função é par se só aparece potências pares na série de Maclaurin, e é ímpar se só aparecem potências ímpares. Por exemplo,
\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}
apenas potências x^{2n}, logo \cos x é par;
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
apenas potências x^{2n+1}, logo \sin x é ímpar.

Passo 3

Raio de convergência e singularidades
O raio de convergência R da série de Maclaurin indica até onde a função é analítica e onde surgem singularidades. Por exemplo,
\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n,
que converge para |x|<1. A borda |x|=1 sinaliza singularidade em x=1. De modo semelhante,
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{\,n-1}\frac{x^n}{n},
com raio R=1, indica que há singularidade em x=-1.

Passo 4

Monotonicidade e concavidade via derivadas
A série de Maclaurin permite obter as derivadas termo a termo no interior do raio de convergência. Por exemplo, para
f(x)=\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{\,n-1}\frac{x^n}{n},
temos
f'(x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{\,n-1}x^{n-1}=\frac1{1+x},
que é positiva em -1<x<\infty, mostrando que f é crescente. E
f''(x)=-\frac1{(1+x)^2}<0,
o que mostra que f é côncava nesse mesmo intervalo.

Resposta

Sim. Exemplos:
\bullet Paridade: \cos x (só termos x^{2n}) é função par, \sin x (só termos x^{2n+1}) é ímpar.
\bullet Raio de convergência: \tfrac1{1-x}=\sum x^n converge só para |x|<1, revelando singularidade em x=1.
\bullet Monotonicidade/concavidade: de \ln(1+x)=\sum(-1)^{n-1}x^n/n extraímos f'(x)>0 e f''(x)<0.

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