Encontre o raio de convergência. Você consegue identificar a soma como uma função familiar em alguns destes problemas? (Mostre os detalhes do que fizer.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n+1}}{2 n} z^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n+1}}{2\,n}\,z^{n}
e sugere identificar a soma como função conhecida. Para isso vamos usar o teste da razão (ou do n-ésimo radical) e depois comparar com a expansão de -\ln(1-x).

Passo 2

Seja
a_n = \frac{(-2)^{n+1}}{2\,n}\,z^n.
Calculamos a razão a_{n+1}/a_n:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-2)^{n+2}}{2\,(n+1)}\,z^{n+1} \;\Big/\; \frac{(-2)^{n+1}}{2\,n}\,z^n = \frac{n}{n+1}\,(-2)\,z.
Tomando valor absoluto e passando ao limite,
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\,2|z| =2|z|.
Pelo teste da razão, a série converge se 2|z|<1, ou seja
|z|<\frac12.
Logo o raio de convergência é R=\tfrac12.

Passo 3

Para identificar a soma, note que
\frac{(-2)^{n+1}}{2\,n}\,z^n = -\frac{(-2)^n}{n}\,z^n = -\frac{(-2z)^n}{n}.
Assim a série fica
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-2)^{n+1}}{2\,n}\,z^n = -\sum_{n=1}^\infty\frac{(-2z)^n}{n}.
E sabemos a expansão válida para |x|<1:
-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}.
Bastando tomar x=-2z, obtemos
-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-2z)^n}{n} = -\bigl(-\ln(1-(-2z))\bigr) = \ln\bigl(1+2z\bigr).

Resposta

O raio de convergência é
R=\tfrac12,
e para |z|<\tfrac12 a soma da série é
\ln\bigl(1+2z\bigr).

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