De memória, faça uma lista das séries de Maclaurin de
,
.
Passo 1
O enunciado pede para listar de memória as séries de Maclaurin das funções
,
,
,
,
e
. O conteúdo é série de Taylor em torno de
, ou seja,
Vamos usar essa definição e lembrar as derivadas dessas funções em
.
Passo 2
Para
, todas as derivadas valem
, logo em
temos
para todo
. Portanto
Passo 3
Para
, as derivadas em
são alternadamente
,
,
,
, etc. Mais precisamente,
Assim
Passo 4
Para
, as derivadas em
seguem o padrão
, isto é,
Logo
Passo 5
Para
, sabemos que
. Suas derivadas em
são
e
. Assim
Passo 6
Para
, tem-se
. As derivadas em
são
e
. Deste modo
Passo 7
Para
, a derivada é
(válido para
). Integrando termo a termo e escolhendo constante de integração de modo que
, obtemos