De memória, faça uma lista das séries de Maclaurin de e^{z}, \cos z, \operatorname{sen} z, \operatorname{cosh} z, \operatorname{senh} z, \operatorname{Ln}(1-z).

Passo 1

O enunciado pede para listar de memória as séries de Maclaurin das funções \exp(z), \cos z, \sin z, \operatorname{cosh} z, \operatorname{sinh} z e \ln(1-z). O conteúdo é série de Taylor em torno de 0, ou seja,
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,z^n.
Vamos usar essa definição e lembrar as derivadas dessas funções em 0.

Passo 2

Para f(z)=\exp(z), todas as derivadas valem f^{(n)}(z)=\exp(z), logo em 0 temos f^{(n)}(0)=1 para todo n. Portanto
\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^n.

Passo 3

Para f(z)=\cos z, as derivadas em 0 são alternadamente 0, 1, 0, -1, etc. Mais precisamente,
f^{(2k)}(0)=(-1)^k,\quad f^{(2k+1)}(0)=0.
Assim
\cos z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,z^{2k}.

Passo 4

Para f(z)=\sin z, as derivadas em 0 seguem o padrão 0,1,0,-1,\dots, isto é,
f^{(2k)}(0)=0,\quad f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k.
Logo
\sin z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,z^{2k+1}.

Passo 5

Para f(z)=\operatorname{cosh} z, sabemos que \operatorname{cosh} z=(e^z+e^{-z})/2. Suas derivadas em 0 são f^{(2k)}(0)=1 e f^{(2k+1)}(0)=0. Assim
\operatorname{cosh} z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k)!}\,z^{2k}.

Passo 6

Para f(z)=\operatorname{sinh} z, tem-se \operatorname{sinh} z=(e^z-e^{-z})/2. As derivadas em 0 são f^{(2k)}(0)=0 e f^{(2k+1)}(0)=1. Deste modo
\operatorname{sinh} z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)!}\,z^{2k+1}.

Passo 7

Para f(z)=\ln(1-z), a derivada é f'(z)=-1/(1-z)=-\sum_{n=0}^{\infty}z^n (válido para |z|<1). Integrando termo a termo e escolhendo constante de integração de modo que f(0)=0, obtemos
\ln(1-z)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}.

Resposta

\displaystyle \exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.
\displaystyle \cos z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,z^{2k}.
\displaystyle \sin z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,z^{2k+1}.
\displaystyle \operatorname{cosh} z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{(2k)!}.
\displaystyle \operatorname{sinh} z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}.
\displaystyle \ln(1-z)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n},\quad |z|<1.

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