Encontre o raio de convergência. Você consegue identificar a soma como uma função familiar em alguns destes problemas? (Mostre os detalhes do que fizer.) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2 n+1}}{2 n+1}
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{2n+1}
e pede o raio de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz de Cauchy, que diz que
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}
onde a_n é o coeficiente geral (aqui a_{2n+1}=1/(2n+1) e a_{k}=0 para k par).
Passo 2
Aplicando o Teste da Raiz diretamente ao termo geral
pois \lim_{n\to\infty}(2n+1)^{1/n}=1 e \lim_{n\to\infty}|z|^{1/n}=1.
Passo 3
Pela condição de convergência do Teste da Raiz, precisamos de
|z|^2<1 \quad\Longrightarrow\quad |z|<1.
Logo, o raio de convergência é
R=1.
Passo 4
Além disso, para |z|<1 a soma pode ser reconhecida como a função \operatorname{arctanh}(z), pois a expansão em série de Taylor de \operatorname{arctanh}(z) é