Encontre o raio de convergência. Você consegue identificar a soma como uma função familiar em alguns destes problemas? (Mostre os detalhes do que fizer.)
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2 n+1}}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{2n+1}
e pede o raio de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz de Cauchy, que diz que
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}
onde a_n é o coeficiente geral (aqui a_{2n+1}=1/(2n+1) e a_{k}=0 para k par).

Passo 2

Aplicando o Teste da Raiz diretamente ao termo geral
t_n=\frac{z^{2n+1}}{2n+1},
calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|t_n\bigr|} =\lim_{n\to\infty}\frac{|z|^{(2n+1)/n}}{(2n+1)^{1/n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{|z|^{2+1/n}}{(2n+1)^{1/n}} =|z|^2,
pois \lim_{n\to\infty}(2n+1)^{1/n}=1 e \lim_{n\to\infty}|z|^{1/n}=1.

Passo 3

Pela condição de convergência do Teste da Raiz, precisamos de
|z|^2<1 \quad\Longrightarrow\quad |z|<1.
Logo, o raio de convergência é
R=1.

Passo 4

Além disso, para |z|<1 a soma pode ser reconhecida como a função \operatorname{arctanh}(z), pois a expansão em série de Taylor de \operatorname{arctanh}(z) é
\operatorname{arctanh}(z) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{2n+1} \quad(|z|<1),
e também vale a expressão fechada
\operatorname{arctanh}(z) =\tfrac12\ln\!\biggl(\frac{1+z}{1-z}\biggr).

Resposta

O raio de convergência é R=1.

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