O que é uma série de Taylor? Qual era a idéia de obtê-la a partir da fórmula da integral de Cauchy?
Passo 1
O enunciado pede para explicar o que é uma série de Taylor e como ela pode ser obtida a partir da fórmula integral de Cauchy. O tema principal é análise complexa (ou real, no caso holomorfo), usando o conceito de expansão em séries de potências e o Teorema Integral de Cauchy para funções holomorfas.
Passo 2
Uma série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é uma expansão em potências de
(ou
no real) do tipo
onde os coeficientes
são determinados pelas derivadas de
em
como veremos a seguir. Essa série, quando converge, representa exatamente
num disco (ou intervalo) de convergência em torno de
.
Passo 3
A fórmula integral de Cauchy diz que, se
é holomorfa dentro e sobre um contorno fechado simples
que envolve
, então para cada inteiro
Essa expressão nos dá acesso direto às derivadas de
em
via integração.
Passo 4
A ideia é usar essa expressão para escrever cada derivada de
em
e, em seguida, montar a expansão de Taylor. Sabemos que a série de Taylor formal é
Substituindo a fórmula de Cauchy para
, obtemos
Passo 5
Agora, sob as mesmas hipóteses de holomorfia e convergência, podemos trocar soma e integral e reconhecer aquela soma como uma série geométrica em
. De fato, para
temos
Assim a integral original se reescreve exatamente como
que é a própria fórmula de Cauchy para
, mostrando consistência. Mas, o ponto-chave é que, a partir da expressão para
, já tínhamos os coeficientes
o que completa a obtenção da série de Taylor.
Resposta
A série de Taylor de uma função
em torno de
é
A ideia de obtê-la pela fórmula integral de Cauchy é usar
para expressar cada derivada
como integral, daí encontrar os coeficientes da expansão em potências.