O que é uma série de Taylor? Qual era a idéia de obtê-la a partir da fórmula da integral de Cauchy?

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que é uma série de Taylor e como ela pode ser obtida a partir da fórmula integral de Cauchy. O tema principal é análise complexa (ou real, no caso holomorfo), usando o conceito de expansão em séries de potências e o Teorema Integral de Cauchy para funções holomorfas.

Passo 2

Uma série de Taylor de uma função f em torno de um ponto a é uma expansão em potências de (z - a) (ou (x - a) no real) do tipo
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n\,(z - a)^n,
onde os coeficientes c_n são determinados pelas derivadas de f em a como veremos a seguir. Essa série, quando converge, representa exatamente f(z) num disco (ou intervalo) de convergência em torno de a.

Passo 3

A fórmula integral de Cauchy diz que, se f é holomorfa dentro e sobre um contorno fechado simples \gamma que envolve a, então para cada inteiro n\ge0
f^{(n)}(a) =\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta.
Essa expressão nos dá acesso direto às derivadas de f em a via integração.

Passo 4

A ideia é usar essa expressão para escrever cada derivada de f em a e, em seguida, montar a expansão de Taylor. Sabemos que a série de Taylor formal é
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(z - a)^n.
Substituindo a fórmula de Cauchy para f^{(n)}(a), obtemos
f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl[\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta\Bigr]\,(z - a)^n.

Passo 5

Agora, sob as mesmas hipóteses de holomorfia e convergência, podemos trocar soma e integral e reconhecer aquela soma como uma série geométrica em \frac{z - a}{\zeta - a}. De fato, para |z-a|<\min_{\zeta\in\gamma}|\zeta-a| temos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z - a)^n}{(\zeta - a)^{n+1}} =\frac{1}{\zeta - a}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{z - a}{\zeta - a}\Bigr)^n =\frac{1}{\zeta - z}.
Assim a integral original se reescreve exatamente como
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta,
que é a própria fórmula de Cauchy para f(z), mostrando consistência. Mas, o ponto-chave é que, a partir da expressão para f^{(n)}(a), já tínhamos os coeficientes
c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!},
o que completa a obtenção da série de Taylor.

Resposta

A série de Taylor de uma função f em torno de a é
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(z - a)^n.
A ideia de obtê-la pela fórmula integral de Cauchy é usar
f^{(n)}(a) =\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\,d\zeta
para expressar cada derivada f^{(n)}(a) como integral, daí encontrar os coeficientes da expansão em potências.

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