Encontre o raio de convergência. Você consegue identificar a soma como uma função familiar em alguns destes problemas? (Mostre os detalhes do que fizer.)
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} z^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,z^{n}.
O conteúdo aqui é estudo de séries de potências e aplicação do teste da razão para determinar R. Como extra, podemos reconhecer essa soma como uma função elementar familiar.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a
a_n = \frac{(-1)^{n}}{(2n)!},
isto é, analisamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}\,z^{\,n+1}}{a_n\,z^n}\right| =\lim_{n\to\infty}\Biggl|\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+2)!}\,\frac{(2n)!}{(-1)^n}\Biggr|\;|z| =\lim_{n\to\infty}\frac{|z|}{(2n+2)(2n+1)}.
Como para n\to\infty temos (2n+2)(2n+1)\to\infty, segue
L=0\quad\text{para qualquer \(z\).}

Passo 3

O teste da razão diz que a série converge se L<1. Aqui L=0<1 para todo z, logo o raio de convergência é infinito:
R = \infty.

Passo 4

Para identificar a soma, lembramos a expansão de Taylor de \cos x:
\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\,x^{2n}.
Basta tomar x = \sqrt{z} para ver
\cos(\sqrt{z}) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\,\bigl(\sqrt{z}\bigr)^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\,z^n.

Resposta

Raio de convergência: R = \infty.
Soma da série: \displaystyle \cos\bigl(\sqrt{z}\bigr).

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