Encontre o raio de convergência. Você consegue identificar a soma como uma função familiar em alguns destes problemas? (Mostre os detalhes do que fizer.) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} z^{n}
O conteúdo aqui é estudo de séries de potências e aplicação do teste da razão para determinar R. Como extra, podemos reconhecer essa soma como uma função elementar familiar.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão a
a_n = \frac{(-1)^{n}}{(2n)!},
isto é, analisamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}\,z^{\,n+1}}{a_n\,z^n}\right| =\lim_{n\to\infty}\Biggl|\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+2)!}\,\frac{(2n)!}{(-1)^n}\Biggr|\;|z| =\lim_{n\to\infty}\frac{|z|}{(2n+2)(2n+1)}.
Como para n\to\infty temos (2n+2)(2n+1)\to\infty, segue
L=0\quad\text{para qualquer \(z\).}
Passo 3
O teste da razão diz que a série converge se L<1. Aqui L=0<1 para todo z, logo o raio de convergência é infinito:
R = \infty.
Passo 4
Para identificar a soma, lembramos a expansão de Taylor de \cos x:
\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\,x^{2n}.