Encontre o raio de convergência. Você consegue identificar a soma como uma função familiar em alguns destes problemas? (Mostre os detalhes do que fizer.) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!}(z-2)^{2 n+1}
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em z=2:
Precisamos encontrar o raio de convergência dessa série e, se possível, reconhecer a soma como uma função conhecida. Para isso vamos usar o teste da razão e depois comparar com a expansão de Taylor de funções elementares.
Como (2n+2)(2n+3)\to\infty quando n\to\infty, essa razão tende a zero para todo z. Logo a série converge para todo z\in\mathbb{C}, ou seja, o raio de convergência é
R = \infty.
Passo 3
Lembrando que a expansão de Taylor de \sin w em w=0 é
\sin w = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\,w^{2n+1},
basta fazer w = z-2 para ver que nossa série é exatamente