Encontre o raio de convergência. Você consegue identificar a soma como uma função familiar em alguns destes problemas? (Mostre os detalhes do que fizer.)
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!}(z-2)^{2 n+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em z=2:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(z-2)^{2n+1}.
Precisamos encontrar o raio de convergência dessa série e, se possível, reconhecer a soma como uma função conhecida. Para isso vamos usar o teste da razão e depois comparar com a expansão de Taylor de funções elementares.

Passo 2

Aplicando o teste da razão ao termo geral
a_n = \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(z-2)^{2n+1},
temos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{|z-2|^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}\,\frac{(2n+1)!}{|z-2|^{2n+1}} = \frac{|z-2|^2}{(2n+2)(2n+3)}.
Como (2n+2)(2n+3)\to\infty quando n\to\infty, essa razão tende a zero para todo z. Logo a série converge para todo z\in\mathbb{C}, ou seja, o raio de convergência é
R = \infty.

Passo 3

Lembrando que a expansão de Taylor de \sin w em w=0 é
\sin w = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\,w^{2n+1},
basta fazer w = z-2 para ver que nossa série é exatamente
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(z-2)^{2n+1} = \sin\bigl(z-2\bigr).

Resposta

O raio de convergência é R=\infty e a soma da série é \sin(z-2).

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