Encontre o raio de convergência. Você consegue identificar a soma como uma função familiar em alguns destes problemas? (Mostre os detalhes do que fizer.)
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 z)^{2 n}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2z)^{2n}}{(2n)!}
e sugere reconhecer a soma como uma função familiar. Vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois comparar com a definição de \operatorname{cosh}(x).

Passo 2

Definindo
\displaystyle a_n = \frac{(2z)^{2n}}{(2n)!},
aplicamos o teste da razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2z)^{2n+2}/(2n+2)!}{(2z)^{2n}/(2n)!} = \frac{(2z)^2}{(2n+1)(2n+2)} = \frac{4z^2}{(2n+1)(2n+2)}.

Passo 3

Observamos que
\lim_{n\to\infty} \frac{4z^2}{(2n+1)(2n+2)} = 0
para todo z\in\mathbb{C}. Pelo teste da razão, a série converge para qualquer z, ou seja, o raio de convergência é infinito.

Passo 4

Para reconhecer a soma, usamos a expansão de
\operatorname{cosh}(x):
\operatorname{cosh}(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Tomando x=2z, fica
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2z)^{2n}}{(2n)!} = \operatorname{cosh}(2z),
que é uma função inteira.

Resposta

O raio de convergência é \displaystyle \infty.

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