Encontre o raio de convergência. Você consegue identificar a soma como uma função familiar em alguns destes problemas? (Mostre os detalhes do que fizer.)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{5}}{n!}(z-3 i)^{2 n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5}}{n!}\,(z-3\,i)^{2n}
e sugere reconhecer essa soma como alguma função “familiar”. Para resolver, vamos:
  1. Aplicar o teste da raiz (ou razão) para achar o raio de convergência.
  2. Mostrar que a soma é da forma de um polinômio em (z-3\,i)^{2} vezes e^{(z-3\,i)^{2}}.

Passo 2

Defina w = z - 3\,i. A série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5}}{n!}\,w^{2n}.
Aplicamos o teste da raiz: para k=2n temos
\bigl|c_{2n}\bigr|^{1/(2n)} =\biggl(\frac{n^{5}}{n!}\biggr)^{\!1/(2n)}.
Usando a aproximação assintótica n!\sim(n/e)^{n}\sqrt{2\pi n},
\frac{1}{2n}\ln\!\bigl(n^{5}/n!\bigr) =\frac{5\ln n -\bigl(n\ln n -n +O(\ln n)\bigr)}{2n} \to -\infty,
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\bigl(n^{5}/n!\bigr)^{1/(2n)}\to 0.
Portanto
\limsup_{k\to\infty}|c_{k}|^{1/k}=0
e o raio de convergência é infinito.

Passo 3

Para identificar a soma, note que, colocando x=w^{2},
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{5}}{n!}x^{n}
é a função geratriz exponencial dos momentos n^{5}. Sabe-se que
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{5}}{n!}x^{n} =\bigl(x^{5}+15x^{4}+25x^{3}+10x^{2}+x\bigr)e^{x}.
Voltando a w, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5}}{n!}w^{2n} =\bigl(w^{10}+15w^{8}+25w^{6}+10w^{4}+w^{2}\bigr)\,e^{w^{2}}.
E como w=z-3\,i, a soma é
\bigl((z-3\,i)^{10}+15(z-3\,i)^{8}+25(z-3\,i)^{6}+10(z-3\,i)^{4}+(z-3\,i)^{2}\bigr)\,e^{(z-3\,i)^{2}}.

Resposta

O raio de convergência é infinito.
A soma da série pode ser escrita como
\bigl((z-3\,i)^{10}+15(z-3\,i)^{8}+25(z-3\,i)^{6}+10(z-3\,i)^{4}+(z-3\,i)^{2}\bigr)\,e^{(z-3\,i)^{2}}.

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