Encontre o raio de convergência. Você consegue identificar a soma como uma função familiar em alguns destes problemas? (Mostre os detalhes do que fizer.)
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência da série
e sugere reconhecer essa soma como alguma função “familiar”. Para resolver, vamos:
- Aplicar o teste da raiz (ou razão) para achar o raio de convergência.
- Mostrar que a soma é da forma de um polinômio em
vezes .
Passo 2
Defina
. A série fica
Aplicamos o teste da raiz: para
temos
Usando a aproximação assintótica
,
logo
Portanto
e o raio de convergência é infinito.
Passo 3
Para identificar a soma, note que, colocando
,
é a função geratriz exponencial dos momentos
. Sabe-se que
Voltando a
, obtemos
E como
, a soma é
Resposta
O raio de convergência é infinito.
A soma da série pode ser escrita como
A soma da série pode ser escrita como