Encontre a série de Taylor ou de Maclaurin considerando como centro o ponto dado, e determine o raio de convergência. (Mostre os detalhes do que fizer.)
e^{z}, \pi i

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(z)=e^z centrada em z_0=\pi i e o raio de convergência dessa série. Vamos usar a fórmula geral da série de Taylor em torno de z_0:
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\,(z-z_0)^n.

Passo 2

Como f(z)=e^z, todas as derivadas são iguais a e^z. Logo, para todo n\ge0,
f^{(n)}(z_0)=e^{z_0}=e^{\pi i}=-1.

Passo 3

Substituindo f^{(n)}(z_0)=-1 na fórmula de Taylor, obtemos
e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-1}{n!}\,(z-\pi i)^n =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-\pi i)^n}{n!}.

Passo 4

Para determinar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão aos coeficientes a_n=-1/n!:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{1/n!}{1/(n+1)!}=n+1=\infty.
Isso mostra que a série converge para todo z, ou seja, R=\infty.

Resposta

e^z=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-\pi i)^n}{n!}, \quad R=\infty.

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