Encontre a temperatura
numa barra semi-infinita, lateralmente isolada e que se estende ao infinito ao longo do eixo
, supondo que a temperatura inicial seja
quando
para todo valor fixo de
, e que
. Proceda como se segue.
Elabore o modelo e mostre que a transformada de Laplace leva a
e
Aplicando o teorema da convolução, mostre que
Elabore o modelo e mostre que a transformada de Laplace leva a
Passo 1
Resumindo, o problema é o da barra semi-infinita para
e
com:
– equação do calor
– equação do calor
– condição inicial
– condições de contorno
Vamos usar transformada de Laplace em
para obter uma EDO em
.
Passo 2
Aplique
em
na equação do calor. Como
,
Logo a transformada satisfaz
com
e
quando
.
Passo 3
Reescrevendo a EDO:
cuja solução geral é
Como
em
, exige-se
. Em
vale
. Portanto
Passo 4
Reconhecemos
com
Pela teorema da convolução em Laplace,
onde
. Usa-se o par conhecido
com
. Assim