Encontre a temperatura w(x, t) numa barra semi-infinita, lateralmente isolada e que se estende ao infinito ao longo do eixo x, supondo que a temperatura inicial seja 0, w(x, t) \rightarrow 0 quando x \rightarrow \infty para todo valor fixo de t \geq 0, e que w(0, t)=f(t). Proceda como se segue.
Elabore o modelo e mostre que a transformada de Laplace leva a
s W=c^{2} \frac{\partial^{2} W}{\partial x^{2}} \quad(W=\mathscr{L}\{w\})
e
W=F(s) e^{-\sqrt{s} x / c} \quad(F=\mathscr{L}\{f\})
Aplicando o teorema da convolução, mostre que
w(x, t)=\frac{x}{2 c \sqrt{\pi}} \int_{0}^{t} f(t-\tau) \tau^{-3 / 2} e^{-x^{2} /\left(4 c^{2} \tau\right)} d \tau

Passo 1

Resumindo, o problema é o da barra semi-infinita para x\ge0 e t\ge0 com:
– equação do calor
\frac{\partial w}{\partial t}=c^{2}\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}},
– condição inicial
w(x,0)=0,
– condições de contorno
w(0,t)=f(t),\quad w(x,t)\to0\text{ quando }x\to\infty.
Vamos usar transformada de Laplace em t para obter uma EDO em x.

Passo 2

Aplique \mathscr{L}\{\cdot\} em t na equação do calor. Como w(x,0)=0,
\mathscr{L}\Bigl\{\frac{\partial w}{\partial t}\Bigr\} =sW(x,s)-0=sW, \quad \mathscr{L}\Bigl\{c^{2}\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}\Bigr\} =c^{2}\frac{\partial^{2}W}{\partial x^{2}}.
Logo a transformada satisfaz
sW=c^{2}\frac{\partial^{2}W}{\partial x^{2}},
com
\;W(0,s)=F(s) e \;W(x,s)\to0 quando x\to\infty.

Passo 3

Reescrevendo a EDO:
\frac{\partial^{2}W}{\partial x^{2}}-\frac{s}{c^{2}}\,W=0,
cuja solução geral é
W(x,s)=A e^{\sqrt{s}\,x/c}+B e^{-\sqrt{s}\,x/c}.
Como W\to0 em x\to\infty, exige-se A=0. Em x=0 vale W(0,s)=B=F(s). Portanto
W(x,s)=F(s)\,e^{-\sqrt{s}\,x/c}.

Passo 4

Reconhecemos W(x,s)=F(s)\,G(x,s) com
G(x,s)=e^{-\sqrt{s}\,x/c}.
Pela teorema da convolução em Laplace,
w(x,t)=\int_{0}^{t}f(t-\tau)\,g(x,\tau)\,d\tau,
onde g(x,t)=\mathscr{L}^{-1}\{G(x,s)\}. Usa-se o par conhecido
\mathscr{L}^{-1}\{e^{-a\sqrt{s}}\} =\frac{a}{2\sqrt{\pi}}\,t^{-3/2}\,e^{-a^{2}/(4t)},
com a=x/c. Assim
g(x,t) =\frac{x}{2c\sqrt{\pi}}\;t^{-3/2}\;\exp\!\biggl(-\frac{x^{2}}{4c^{2}t}\biggr).

Resposta

w(x,t) =\frac{x}{2c\sqrt{\pi}} \int_{0}^{t}f(t-\tau)\,\tau^{-3/2}\, \exp\!\Bigl(-\frac{x^{2}}{4c^{2}\tau}\Bigr)\,d\tau.

Exercícios de Livros Relacionados