Enuncie de memória a definição de derivada. Ela parece similar à do cálculo. Porém, qual é a grande diferença?
Passo 1
O enunciado pede que a gente diga de memória a definição de derivada e, em seguida, aponte a grande diferença entre essa definição e a que o aluno costuma ver no cálculo elementar. O conteúdo aqui é análise (derivada como aplicação linear aproximadora), e vamos precisar lembrar tanto da forma de limite de quociente quanto da forma geral em espaços normados.
Passo 2
Definição de derivada em uma variável (cálculo): seja
e
. Dizemos que
é diferenciável em
se existir o limite
e chamamos esse número de derivada de
em
.
Passo 3
Forma geral de derivada (análise funcional/Fréchet) em espaços normados: seja
, onde
e
são espaços vetoriais normados e
aberto. Dizemos que
é diferenciável em
se existir um único operador linear contínuo
tal que, quando definimos o erro
vale
Esse operador
é chamado de diferencial ou derivada de Fréchet de
em
, denotado
.
Passo 4
Grande diferença em relação ao cálculo elementar:
– Na definição avançada não basta ter limite de quocientes em cada direção ou calcular derivadas unilaterais; exige-se a existência de um único operador linear que aproxime
de forma que o resto seja
.
– Em outras palavras, a derivada deixa de ser só um número e passa a ser uma aplicação linear que fornece a melhor aproximação de perto de
.
– Na definição avançada não basta ter limite de quocientes em cada direção ou calcular derivadas unilaterais; exige-se a existência de um único operador linear
– Em outras palavras, a derivada deixa de ser só um número e passa a ser uma aplicação linear que fornece a melhor aproximação de
Resposta
A grande diferença é que, em análise, a derivada em um ponto não é apenas o número dado pelo limite do quociente de incrementos, e sim um operador linear
que aproxima a função via
garantindo que o termo de erro cresça estritamente menos que
.