Enuncie de memória a definição de derivada. Ela parece similar à do cálculo. Porém, qual é a grande diferença?

Passo 1

O enunciado pede que a gente diga de memória a definição de derivada e, em seguida, aponte a grande diferença entre essa definição e a que o aluno costuma ver no cálculo elementar. O conteúdo aqui é análise (derivada como aplicação linear aproximadora), e vamos precisar lembrar tanto da forma de limite de quociente quanto da forma geral em espaços normados.

Passo 2

Definição de derivada em uma variável (cálculo): seja f\colon I\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} e a\in I. Dizemos que f é diferenciável em a se existir o limite
f'(a) \;=\;\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
e chamamos esse número de derivada de f em a.

Passo 3

Forma geral de derivada (análise funcional/Fréchet) em espaços normados: seja f\colon U\subseteq X\to Y, onde X e Y são espaços vetoriais normados e U aberto. Dizemos que f é diferenciável em x\in U se existir um único operador linear contínuo
L\colon X\to Y
tal que, quando definimos o erro
R(h)=f(x+h)-f(x)-L(h),
vale
\lim_{h\to0}\frac{\|R(h)\|_{Y}}{\|h\|_{X}}=0.
Esse operador L é chamado de diferencial ou derivada de Fréchet de f em x, denotado df(x).

Passo 4

Grande diferença em relação ao cálculo elementar:
– Na definição avançada não basta ter limite de quocientes em cada direção ou calcular derivadas unilaterais; exige-se a existência de um único operador linear L que aproxime f de forma que o resto seja o(\|h\|).
– Em outras palavras, a derivada deixa de ser só um número e passa a ser uma aplicação linear que fornece a melhor aproximação de f perto de x.

Resposta

A grande diferença é que, em análise, a derivada em um ponto não é apenas o número dado pelo limite do quociente de incrementos, e sim um operador linear L que aproxima a função via
f(x+h)=f(x)+L(h)+o(\|h\|),
garantindo que o termo de erro cresça estritamente menos que \|h\|.

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