(EPCAr-2002) \overline{\mathrm{AB}}=20 \mathrm{~cm} é um diâmetro de um círculo de centro O e T é um ponto da tangente ao círculo em A , tal que \overline{\mathrm{AT}}=\overline{\mathrm{AB}}. A reta determinada por O e T intercepta o círculo em C e D , tal que \overline{\mathrm{TC}}<\overline{\mathrm{TD}}. O segmento TD mede
a) 10 \sqrt{5}-10
b) 10-\sqrt{5}
c) 10 \sqrt{5}+10

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um círculo de centro O e diâmetro \overline{AB}=20. Em A traçamos a tangente ao círculo e tomamos um ponto T nessa tangente tal que \overline{AT}=\overline{AB}=20. A reta OT corta o círculo em dois pontos C e D, com \overline{TC}<\overline{TD}. O que precisamos calcular é o comprimento de \overline{TD}. O conteúdo é geometria analítica: usaremos coordenadas e interseção reta–círculo.

Passo 2

Escolhemos coordenadas para simplificar:
O=(0,0),\quad A=(10,0),\quad B=(-10,0),
de modo que \overline{AB}=20. A tangente em A é a reta vertical x=10. Como \overline{AT}=20, tomamos
T=(10,20).

Passo 3

Parametrizamos a reta OT por
P(\lambda)=T+\lambda\bigl(O-T\bigr) =(10,20)+\lambda\,(-10,-20) =(10-10\lambda,\;20-20\lambda).
Para achar as interseções com o círculo x^2+y^2=100, impomos
(10-10\lambda)^2+(20-20\lambda)^2=100.
Fatorando, vemos que
(1-\lambda)^2\bigl(10^2+20^2\bigr) =500\,(1-\lambda)^2 =100,
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(1-\lambda)^2=\tfrac{100}{500}=\tfrac15 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=1\pm\tfrac1{\sqrt5}.
Desses valores, \lambda_1=1-\tfrac1{\sqrt5} dá o ponto C mais próximo de T, e \lambda_2=1+\tfrac1{\sqrt5} dá o ponto D.

Passo 4

O comprimento de OT é
|OT|=\sqrt{(-10)^2+(-20)^2} =\sqrt{500} =10\sqrt{5}.
Como P(\lambda) está a uma fração \lambda do caminho de T a O, temos
TC=|OT|\;\lambda_1 =10\sqrt{5}\bigl(1-\tfrac1{\sqrt5}\bigr) =10\sqrt{5}-10,
TD=|OT|\;\lambda_2 =10\sqrt{5}\bigl(1+\tfrac1{\sqrt5}\bigr) =10\sqrt{5}+10.

Resposta

(c) 10\sqrt{5}+10

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