(Epcar-2004) De um ponto O, tomado sobre uma reta \mathbf{A B} (O entre \mathbf{A} e B), traçam-se para um mesmo semi-plano de \mathbf{A B}, as semi-retas \mathbf{O N}, \mathbf{O P} e OQ. Os ângulos AÔN, NÔP, PÔQ e QÔB medem, respectivamente, 80^{\circ}-3 \mathrm{x}, 5 \mathrm{x}-14^{\circ}, x e 4 \mathrm{x}+9^{\circ}. O complemento do menor ângulo é
a) 68^{\circ}
b) 75^{\circ}
c) 78^{\circ}
d) 80^{\circ}

Passo 1

O enunciado coloca o ponto O sobre a reta \mathbf{AB} e, no mesmo semiplano, traça as semirretas \mathbf{ON}, \mathbf{OP} e \mathbf{OQ}. Os ângulos adjacentes formados são
\angle AÔN = 80^\circ - 3xÔ,
\angle NÔP = 5x - 14^\circÔ,
\angle PÔQ = xÔ e
\angle QÔB = 4x + 9^\circÔ.
Como A, O, B são colineares e todas as semirretas estão no mesmo lado, a soma desses quatro ângulos é 180^\circ.

Passo 2

Escrevemos a equação da soma igual a 180^\circ:
(80^\circ - 3x) + (5x - 14^\circ) + x + (4x + 9^\circ) = 180^\circ.
Agora, agrupando termos em x e constantes:
-3x +5x + x +4x + (80 -14 +9) = 180 \;\Longrightarrow\; 7x +75 = 180 \;\Longrightarrow\; 7x = 105 \;\Longrightarrow\; x = 15.

Passo 3

Com x = 15, calculamos cada ângulo:
\angle AÔN = 80^\circ - 3\cdot15 = 35^\circ,Ô
\angle NÔP = 5\cdot15 - 14^\circ = 61^\circ,Ô
\angle PÔQ = 15^\circ,Ô
\angle QÔB = 4\cdot15 + 9^\circ = 69^\circ.Ô

Passo 4

O menor ângulo é \angle PÔQ = 15^\circÔ. Seu complemento é
90^\circ - 15^\circ = 75^\circ.

Resposta

75^\circ

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