(EPCAr-98) Uma corda de 12 cm de comprimento forma com o diâmetro um ângulo inscrito. Sabendo-se que a projeção da corda sobre esse diâmetro mede 8 cm , o raio da circunferência é, em cm, igual a
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11

Passo 1

Resumindo: temos uma circunferência de centro O e raio R, um diâmetro AB e uma corda BC de comprimento 12\text{ cm}. A corda e o diâmetro formam no ponto B um ângulo inscrito \angle ABC, e a projeção de BC sobre BA mede 8\text{ cm}. Vamos usar geometria de triângulo inscrito e lei dos cossenos para achar R.

Passo 2

Seja \theta=\angle ABC. A projeção de BC sobre BA é
BC\cos\theta=8,
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\cos\theta=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.

Passo 3

O ponto A e C estão na circunferência, e \angle ABC é inscrito interceptando o arco AC. O comprimento do cordão AC em função do ângulo central é
AC=2R\sin\theta.

Passo 4

No triângulo ABC aplicamos a lei dos cossenos a AC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\,(AB)(BC)\cos\theta.
Substituindo AB=2R, BC=12 e \cos\theta=2/3,
AC^2 = (2R)^2 + 12^2 - 2\,(2R)\cdot12\cdot\frac{2}{3} =4R^2 +144 -32R.

Passo 5

Também AC^2=(2R\sin\theta)^2=4R^2\sin^2\theta. Como
\sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^2=\frac{5}{9},
temos
4R^2\cdot\frac{5}{9}=4R^2+144-32R.
Multiplicando por 9 e organizando, vem
20R^2 =36R^2 -288R +1296 \;\Longrightarrow\; R^2 -18R +81=0 \;\Longrightarrow\; R=9.

Resposta

9

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